F.4 - A.Maths - 圓與直線之交點

第一種方法：
x2 + y2﹣4x﹣2y + 1 = 0 ---(1)
kx﹣y﹣k﹣1 = 0 ---(2)
由(2)，y = kx﹣k﹣1 ---(3)
將(3)代入(1)，
x2 + (kx﹣k﹣1)2﹣4x﹣2(kx﹣k﹣1) + 1 = 0
x2 + [k(x﹣1)﹣1]2﹣4x﹣2kx + 2k + 2 + 1 = 0
x2 + k2(x﹣1)2﹣2k(x﹣1)﹣4x﹣2kx + 2k + 4 = 0
x2 + k2(x2﹣2x + 1)﹣2kx + 2k﹣4x﹣2kx + 2k + 4 = 0
x2 + k2x2﹣2k2x + k2﹣4x﹣4kx + 4k + 4 = 0
(1 + k2)x2﹣(2k2 + 4k + 4)x + k2 + 4k + 4 = 0
由於有一個交點，即Δ = 0
[-(2k2 + 4 + 4k)]2﹣4(1 + k2)(k2 + 4k + 4) = 0
[2k(k + 2) + 4]2﹣4(1 + k2)(k2 + 4k + 4) = 0
4k2(k + 2)2 + 16k(k + 2) + 16﹣(4 + 4k2)(k2 + 4k + 4) = 0
4k2(k2 + 4k + 4) + 16k2 + 32k + 16﹣(4k2 + 16k + 16 + 4k4 + 16k3 + 16k2) = 0
4k4 + 16k3 + 16k2 + 16k2 + 32k + 16﹣4k2﹣16k﹣16﹣4k4﹣16k3 ﹣16k2 = 0
12k2 + 16k = 0
4k(3k + 4) = 0
k = 0 或 -4/3

第二種方法：
圓心 = (2,1)
半徑 = (1/2)√[(-4)2 + (-2)2﹣4(1)] = 2單位
│[k(2)﹣1﹣k﹣1] / √(k2 + 1)│= 2
│(2k﹣k﹣2) / √(k2 + 1)│= 2
│(k﹣2) / √(k2 + 1)│= 2
兩邊take 平方，
(k﹣2)2 / (k2 + 1)= 4
k2﹣4k + 4 = 4(k2 + 1)
k2﹣4k + 4 = 4k2 + 4
3k2 + 4k = 0
k(3k + 4) = 0
k = 0 或 k = -4/3