F.4 - A.Maths - 圓與直線之交點

1)方法一：
x2 + y2﹣14y + 24 = 0 ---(1)
2x﹣3y + 15 = 0 ---(2)
由(2)，y = (2x + 15) / 3 ---(3)
將(3)代入(1)，
x2 + [(2x + 15) / 3]2﹣14[(2x + 15) / 3] + 24 = 0
x2 + [(2x + 15)2 / 9]﹣14[(2x + 15) / 3] + 24 = 0
9x2 + (2x + 15)2﹣14(3)[(2x + 15) + 24(9) = 0
9x2 + 4x2 + 60x + 225﹣42(2x + 15) + 216 = 0
13x2 + 60x + 441﹣84x﹣630 = 0
13x2 ﹣24x﹣189= 0
Δ = (-24)2﹣4(13)(-189) = 10404 > 0
∴L與圓C有2個交點

2)x2 + y2﹣6x﹣8y = 0
x﹣y + 6 = 0
由(2)，y = x + 6 ---(3)
將(3)代入(1)，
x2 + (x + 6)2﹣6x﹣8(x + 6) = 0
x2 + x2 + 12x + 36﹣6x﹣8x﹣54 = 0
2x2﹣2x﹣18 = 0
x2﹣x﹣9 = 0
Δ = (-1)2﹣4(1)(-9) = 37 > 0
∴L與圓C有2個交點


方法二：
1)C的圓心 = (0 , 14/2) = (0,7)
C的半徑 = (1/2)√[142 + 4(24)] = 5單位
圓心與L的距離
= [2(0)﹣3(7) + 15] / √(22 + 32)
= 6 / √13
= 6√13 / 13
由於圓心與L的距離 < 半徑
∴L與圓C有2個交點

2)C的圓心 = (6/2 , 8/2) = (3,4)
C的半徑 = (1/2)√(62 + 82) = 5單位
圓心與L的距離
= (3﹣4 + 6) / √(12 + 12)
= 5 / √2
= 5√2 / 2
由於圓心與L的距離 < 半徑
∴L與圓C有2個交點