如何用證明有理數是不連續,中間的空隙要由無理數填補?

先找一個無理數:

假設√2是有理數, 它則可寫成最簡分數a/b且a,b都是正整數, 即
√2=a/b
b√2=a
2b^2=a^2
則a是偶數, 不防設a=2k且k是一正整數, 即
2b^2=(2k)^2=4k^2
b^2=2k^2
則b也是偶數, 與a/b為最簡分數矛盾
故√2為非有理數, 即無理數

現有兩有理數n,m且n 0
0 < √2 < 2
0 < (√2)/2 < 1
0 < (m-n)(√2)/2 < (m-n)
n < n+(m-n)(√2)/2 < m

已知√2為無理數, 因此兩有理數之間必有一無理數 n+(m-n)(√2)/2

2008-04-12 13:34:28 補充：
亂碼修正:

先找一個無理數:

假設√2是有理數, 它則可寫成最簡分數a/b且a,b都是正整數, 即
√2=a/b
b√2=a
2b^2=a^2
則a是偶數, 不防設a=2k且k是一正整數, 即
2b^2=(2k)^2=4k^2
b^2=2k^2
則b也是偶數, 與a/b為最簡分數矛盾
故√2為非有理數, 即無理數

現有兩有理數n,m且n＜m, 即m-n＞0
0＜√2＜2
0＜(√2)/2＜1
0＜(m-n)(√2)/2＜(m-n)
n＜n+(m-n)(√2)/2＜m

已知√2為無理數, 因此兩有理數之間必有一無理數 n+(m-n)(√2)/2