小三數學一問：三角形的種類

基本概念
中線：三角形一邊中點與這邊所對定點的連線段。
高線：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
角平分線：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
性質
定理
三角不等式：
三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等，則是退化三角形。
三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。
勾股定理(畢氏定理)及其勾股逆定理：
設直角三角形ABC的三頂點A、B、C所對的三邊分別為a、b、c，則a2 b2 = c2等價於角C=90°。
正弦定理（R為三角形外接圓半徑）：
餘弦定理：
角度三角形兩隻內角之和，等於剩下的一隻的外角。
在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。
分類
銳角、鈍角三角形
鈍角三角形是其中一角為鈍角（大於90°）的三角形，其餘兩角均小於90°。
銳角三角形的所有內角均為銳角（小於90°）。
直角三角形
有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。 成直角的兩條邊稱為直角邊，直角所對的邊是斜邊（hypotenuse）；或最長的邊稱為弦，，底部的一邊稱作勾（又作句），另一邊稱為股。
可以透過不同角度的直角三角形各邊的比求得銳角三角函數。
等邊三角形
等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是a，則其面積公式為。
等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。
等腰三角形
等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為腰，而另一條邊被稱為底邊，兩條腰交叉組成的那個點被稱為頂點，它們組成的角被稱為頂角。 等腰三角形的重心、中心和垂心都位於頂點向底邊的垂線上。
等腰三角形的底的垂直平分線，剛好又是對應角的角平分線，同時又是等邊三角形是等腰三角形的一個特殊形式。
等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩個角為45度。
退化三角形
面積為零的三角形。 特性
三角形是具有穩定性：當三角形的三邊確定後，它的形狀、大小就不會改變。
面積
已知兩邊及其夾角
設a、b為所知的兩邊，C為該夾角，三角形面積為ab sin C。
已知底和高
底x高。因為兩個相同的三角形疊合可成平行四邊形。
參考文獻
已知三邊長
希羅公式： 設p等於三角形三邊和的一半：化簡後就是：
秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：
基於希羅公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設a ≥ b ≥ c，三角形面積為
任三角形外心和內心半徑算面積法
假設已知三角形面積為x,三邊邊長分別為a.b.c，s為三角形周長(a b c)
內心半徑(r): x=1/2*s*r
外心半徑(R): x=abc/4R
其他三角形有關的定理
拿破崙三角形
費馬點
歐拉線
梅涅勞斯定理
三角形的五心
名稱 定義 圖示 備注
內心 三個內角的角平分線的交點 三角形內接圓的圓心
外心 三條邊的垂直平分線的交點 三角形外接圓的圓心
垂心 三條高的交點
重心 三條中線的交點 被交點劃分的線段比例為1:2 (靠近角的一段較長)
旁心 外角的角平分線的交點 有三個，為三角形某一邊上的旁切圓

基本概念
中線：三角形一邊中點與這邊所對定點的連線段。
高線：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
角平分線：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
性質
定理
三角不等式：
三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等，則是退化三角形。
三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。

2008-04-24 20:30:30 補充：
勾股定理(畢氏定理)及其勾股逆定理：
設直角三角形ABC的三頂點A、B、C所對的三邊分別為a、b、c，則a2 b2 = c2等價於角C=90°。
正弦定理（R為三角形外接圓半徑）：
餘弦定理：
角度三角形兩隻內角之和，等於剩下的一隻的外角。
在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。
分類
銳角、鈍角三角形
鈍角三角形是其中一角為鈍角（大於90°）的三角形，其餘兩角均小於90°。
銳角三角形的所有內角均為銳角（小於90°）。
直角三角形

2008-04-24 20:32:11 補充：
有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。 成直角的兩條邊稱為直角邊，直角所對的邊是斜邊（hypotenuse）；或最長的邊稱為弦，，底部的一邊稱作勾（又作句），另一邊稱為股。
可以透過不同角度的直角三角形各邊的比求得銳角三角函數。
等邊三角形
等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是a，則其面積公式為。
等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

2008-04-24 20:33:13 補充：
等腰三角形
等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為腰，而另一條邊被稱為底邊，兩條腰交叉組成的那個點被稱為頂點，它們組成的角被稱為頂角。 等腰三角形的重心、中心和垂心都位於頂點向底邊的垂線上。
等腰三角形的底的垂直平分線，剛好又是對應角的角平分線，同時又是等邊三角形是等腰三角形的一個特殊形式。
等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩個角為45度。
退化三角形
面積為零的三角形。 特性
三角形是具有穩定性：當三角形的三邊確定後，它的形狀、大小就不會改變。
面積
已知兩邊及其夾角
設a、b為所知的兩邊，C為該夾角，三角形面積為ab sin C。
已知底和高

2008-04-24 20:34:46 補充：
底x高。因為兩個相同的三角形疊合可成平行四邊形。
參考文獻
已知三邊長
希羅公式： 設p等於三角形三邊和的一半：化簡後就是：
秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：
基於希羅公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設a ≥ b ≥ c，三角形面積為
任三角形外心和內心半徑算面積法
假設已知三角形面積為x,三邊邊長分別為a.b.c，s為三角形周長(a b c)
內心半徑(r): x=1/2*s*r
外心半徑(R): x=abc/4R
其他三角形有關的定理
拿破崙三角形
費馬點
歐拉線
梅涅勞斯定理

2008-04-24 20:35:24 補充：
三角形的五心
名稱 定義 圖示 備注
內心 三個內角的角平分線的交點 三角形內接圓的圓心
外心 三條邊的垂直平分線的交點 三角形外接圓的圓心
垂心 三條高的交點
重心 三條中線的交點 被交點劃分的線段比例為1:2 (靠近角的一段較長)
旁心 外角的角平分線的交點 有三個，為三角形某一邊上的旁切圓

角的分法：
一.直角三角形：最大的角是直角
二.鈍角三角形：最大的角是鈍角
三.銳角三角形：最大的角是銳角

邊的分法：
1. 等邊三角形：三條邊長度相同
2. 等腰三角形：二條邊長度相同

角和邊的分法：
等腰直角三角形：二條邊長度相同,而且最大的角是直角

其他：
任意三角形：不規則，角和邊沒有關係
退化三角形：面積為０

等邊三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,不規則三角形,三角錐體,直角三角形

銳角、鈍角三角形
鈍角三角形是其中一角為鈍角（大於90°）的三角形，其餘兩角均小於90°。

銳角三角形的所有內角均為銳角（小於90°）。


直角三角形
有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。 成直角的兩條邊稱為直角邊，直角所對的邊是斜邊（hypotenuse）；或最長的邊稱為弦，，底部的一邊稱作勾（又作句），另一邊稱為股。

可以透過不同角度的直角三角形各邊的比求得銳角三角函數。



等邊三角形
等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是a，則其面積公式為等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。
等腰三角形
等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為腰，而另一條邊被稱為底邊，兩條腰交叉組成的那個點被稱為頂點，它們組成的角被稱為頂角。 等腰三角形的重心、中心和垂心都位於頂點向底邊的垂線上。

等腰三角形的底的垂直平分線，剛好又是對應角的角平分線，同時又是

等邊三角形是等腰三角形的一個特殊形式。

退化三角形
面積為零的三角形。

銳角、鈍角三角形
直角三角形
等邊三角形
等腰三角形
退化三角形

三角形的種類 :

1. 等邊三角形 (三邊長度一樣)

2. 等腰三角形 (二邊長度一樣)

3. 直角三角形 (其中一個角為直角)

1.銳角三角形
2.鈍角三角形
3.直角三角形
4.等邊三角形
5.等腰三角形
6.退化三角形 （面積為零的三角形）

三角形的種類 :
1. 等邊三角形 (三邊長度一樣)
2. 等腰三角形 (二邊長度一樣)
3. 直角三角形 (其中一個角為直角)
4. 等腰直角三角形 (二邊長度一樣,而其中一個角為直角)

等等...

2008-04-10 20:17:36 補充：
5. 不規則三角形
6. 銳角三角形
7. 鈍角三角形

直角三角形
等腰三角形
不等邊三角形
等邊三角形

三角形的種類 :
1. 等邊三角形 (三邊長度一樣)
2. 等腰三角形 (二邊長度一樣，另一邊比長度一樣的二邊長或短)