國1數學延伸~20點

這題有兩個答案 !!!


【情形1】


當直線通過 p (5,3) 且交 Y 與 X 軸於正值，


則直線是左上斜往右下， 線段bp : 線段 ap = 3 : 1


此時，線段pa : 線段ab = 1 : 4


設 a座標為 ( A , 0 ), b 座標為 ( 0 , B ) (p 點在 a ,b 之間, 且 ap : bp = 1 : 3)


利用分點公式：


(3/4)A + (1/4)*0 = 5
所以 A = 20/3

(3/4)*0 + (1/4)*B = 3
所以 B = 12


所以直線交 X與Y軸分別是 ( 20/3 , 0 )與( 0 , 12 )


因此斜率 = - 12除以(20/3) = -9/5


所以直線方程式可表示為


Y - 12 = (-9/5)X


係數化為整數可得 9X + 5Y - 60 = 0


【情形2】


當直線通過 p (5,3) 且交 X軸於正值，交 Y 軸於 負值，


則直線是右上斜往左下，線段pa : 線段 pb = 1 : 3


此時，線段 pa : 線段ab = 1 : 2


設 a座標為 ( A,0 ), b 座標為 ( 0,B ) (a 點在 p ,b 之間, 且 pa : ab = 1 : 2)


利用分點公式：


(2/3)*5 + (1/3)*0 = A
所以 A = 10/3


(2/3)*3 + (1/3)*B = 0
所以 B = - 6


所以直線交 X與Y軸分別是 ( 10/3 , 0 )與( 0 , - 6 )


因此斜率 = - (- 6)除以(10/3) = 9/5


所以直線方程式可表示為


Y + 6 = (9/5)X

係數化為整數可得 9X - 5Y - 30 = 0


答：9X + 5Y - 60 = 0 , 9X - 5Y - 30 = 0

ap：pb=1：3
ap：ab=1：4=3：b
b*1=3*4
b=12
pb：ab=3：4=5：a
3*a=5*4
a=20/3
得座標(20/3，0)與座標(0，12)
設直線方程式為y=ax＋b
(20/3，0)→0=(20/3)a＋b.............(1)
(0，12)→12=b.............................(2)
由(2)式代入(1)式得
(20/3)a=－12
a=(－12)*(3/20)=(－9/5)
則方程式為y=(－9/5)x＋12
5y=－9x＋60
9x＋5y－60=0

設a(p,0) b(0,q)

斜率m為-q/p
利用點斜式知
(y-3)=m(x-5)

已知ap:pb=1:3
利用分點公式
{3(p,0)+1(0,q)}/4=(5,3)
p=20/3
q=12

m=-q/p=-9/5代入假設方程得
(y-3)=-9/5(x-5)

2008-04-11 00:05:10 補充：
我不知道我用的東西國一有沒有教，沒有的話講一下，我再想想!!
剛在回答時樓上的文章還沒出來
他說用相似形，其實也不錯!!

你把圖畫出來，p點畫垂直交x軸於a'(5,0)，畫水平交y軸於b'(0,3)
則bb'p與pa'a相似，邊為3倍關西
可列出兩條方程式
3(p-5)=5
3(3)=(q-3)
聯立得p=20/3，q=12
速度差不多，會用分點公式用我的，會用相似形用這個↑

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我整理一下答案好了~~
a點(20/3,0)
b點(0,12)

點斜式(y-3)=-9/5(x-5) → 9x+5y=60
截距式x/(20/3)+y/12=1

2008-04-11 00:05:22 補充：
(直線方程還有很多表示法，如兩點、點斜、截距、參數...等在足夠條件下都可以，可以用你最熟悉的!反正a,b點都出來了)

既然是有交X與Y 又過p點(第一象限) 一定是一條線嘛
就用相似形 (國一應該還沒敎) 答案:9X+5Y=60