什麼是三角函數?

三角函數

維基百科，自由的百科全書

跳轉到: 導航, 搜索


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Symbol_support_vote.svg/16px-Symbol_support_vote.svg.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Circle-trig6.svg/300px-Circle-trig6.svg.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
角 θ的所有三角函數在幾何上可以依據以O點為圓心的單位圓來構造。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Trigonometric_functions.svg/400px-Trigonometric_functions.svg.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
三角函數： 正弦, 餘弦, 正切, 正割, 餘割, 餘切
在數學中，三角函數（也叫做圓函數）是角的函數；它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是複數值。
三角函數在數學中屬於初等函數裡的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。由於三角函數表現出周期性，所以它並不具有單射函數意義上的反函數。三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。





目錄[隱藏]

1 基本函數
2 少用函數
3 歷史
4 直角三角定義

4.1 直角三角形中
4.2 直角坐標系中
5 單位圓定義
6 級數定義

6.1 與指數函數和複數的聯繫
7 微分方程定義

7.1 弧度的重要性
8 三角恆等式

8.1 使用函數方程定義三角函數
9 計算

9.1 三角函數的特殊值
10 反三角函數
11 性質和應用

11.1 正弦定律
11.2 餘弦定律
11.3 正切定律
11.4 二倍角公式
11.5 周期函數
12 注釋
13 引用
14 參見
15 外部鏈接



[編輯] 基本函數



函數
簡寫
關係

正弦
sin

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/b/c/ebccd65df3286dc6ef8347e81e62d8cc.png


餘弦
cos

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/5/1/951dbdb4cc4cf63d0f60bdcf232797c6.png


正切
tan
(或 tg)

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/7/9/c79c1aa5f8e190d4425542d1a0ae1d91.png


餘割
csc
(或 cosec)

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/4/a/14aaf6f5f8b39bdc2cc1e6ae8d18c565.png


正割
sec

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/b/5/fb5a719e5b7b4a58746c174d9a59f9f8.png


餘切
cot
(或 ctg、ctn)

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/c/6/cc66ebc7ccf11280e452e6a633744089.png


[編輯] 少用函數

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/Versin.png

除六個基本函數，歷史上還有下面六個函數:

正矢
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/4/e/c4e072620a5b28b6df2c43b37ba382bd.png

餘矢
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/0/d/80d4ccab94e8dc1b6e12c0b357460cb7.png

半正矢
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/d/9/bd9259e440a1132da144ca8a2b5e571f.png

半餘矢
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/c/b/5cb1fdb2a7846f3debbe0eb42d5ee5fe.png

外正割
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/9/2/392d3ccad7fab444e37f28fbae2bb81f.png

外餘割
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/4/6/446e610b1eeb80163486ae8869968573.png



[編輯] 直角三角定義

[編輯] 直角三角形中

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/6/67/Tri_def.png

在直角三角形中僅有銳角三角函數的定義。

一個銳角的正弦是它的對邊與斜邊的比值。在圖中，sinA = 對邊/斜邊 = a/h。

一個銳角的餘弦是它的鄰邊與斜邊的比值。在圖中，cosA= 鄰邊/斜邊 = b/h。

一個銳角的正切是它的對邊與鄰邊的比值。在圖中，tanA = 對邊/鄰邊 = a/b。

[編輯] 直角坐標系中


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Trigonometric_function1.gif/280px-Trigonometric_function1.gif



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

設α是平面直角坐標系xOy中的一個象限角，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/4/6/94681ab2d539a92a29764a2db509f7ee.png
是P到原點O的距離，則α的六個三角函數定義為：



函數名
定義
函數名
定義

正弦

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/0/e/40e7cf1bd1ab28b7eba442491061debb.png

餘弦

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/1/c/51cb136d37f08939017760e1c88b06ba.png


正切

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/1/2/a1264150d7deb9b43f369e5a2095aa30.png

餘切

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/6/0/b60e73fd40158d21158ab9c91d39026d.png


正割

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/2/d/82d9f19032d2789745b91d36fcd6eb97.png

餘割

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/0/b/a0b568d1188bdbc51e336d332822fee2.png


[編輯] 單位圓定義


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Unit_circle_angles.svg/300px-Unit_circle_angles.svg.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
單位圓
六個三角函數也可以依據半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數角它都依賴於直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對於在 0 和 π/2 弧度之間的角。它提供了一個單一的可視圖像，一次封裝了所有重要的三角函數。根據勾股定理，單位圓的等式是:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/5/0/4501d7054dff6689bc0c4288b12d2f9b.png

在圖像中，給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x 軸正半部分得到一個角 θ，並與單位圓相交。這個交點的 x 和 y 坐標分別等於 cos θ 和 sin θ。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度 1，所以有了 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，並保持斜邊等於 1，查看無限個三角形的一種方式。在正切函數的圖像中，在角 kπ 附近變化緩慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的時候變換迅速。正切函數的圖像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直漸進線。這是因為在 θ 從左側接進 (k + 1/2)π 的時候函數接近正無窮，而從右側接近 (k + 1/2)π 的時候函數接近負無窮。