數學~數列級數最難的一題了

是指 1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+......+100 （後面有一百個100相加）？
還是總共有一百項？1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+......+14 （後面有九個14相加）？

如果是前者，總和等於SUM=1+2^2+3^2+...+100^2 = 100(100+1)(200+1)/6 = 338350。

如果是後者，總和等於SUM=1+2^2+3^2+...+13^2+14*9 = 13(13+1)(26+1)/6 = 819+126 = 945。

看成是由上往下的金字塔，最上面是1，第二層是2 2
第三層是3 3 3 ，第四層是4 4 4 4，…依此類推
可以看到他的規律是第幾層代表那層的數字就有幾個，
所以只要看看第100項是在第幾層的第幾個數就可以算和了。
到第13層時總共有 (1＋13)*13/2=91項　(等差級數和觀念)
所以第100項在第14層的第9個數，
所以此數列和＝1＋2*2＋3*3＋．．．＋12*12＋13*13＋14*9
　　　　　　＝819＋126＝945

答案是945，用心想想，其實並不難。這應該算基本的題型

jemeryhk大大講得夠清楚了！

1.......................................1項
2＋2.................................2項
3＋3＋3...........................3項
： ：
： ：
n＋n＋n＋………＋n.....n項
(n/2)(1＋n)≦100
n*n＋n≦200
(n－14)(n＋15)=0
n*n＋n=210..(210＞200不符因n*n＋n≦200)
(n－13)(n＋14)=0
n*n＋n=182.(182＜200符合)
n=13或－14..(項數無複述固不符)
S=(13/2)(1＋13)=(13/2)*14=91
差項=100－91=9..表示剩餘9項皆為14

總和=1平方＋2平方＋3平方＋……＋13平方＋9個14
={[n*(n＋1)*(2n＋1)]/6}＋9個14
={[13*(13＋1)*(2*13＋1)]/6}＋14*9
=(13*14*27/6)＋126
=819＋126
=945

2008-04-05 18:11:55 補充：
&lE表示小於等於之意

這題可想成1+ 2*2+ 3*3+ 4*4 + ... + 100*100
=1 + 2^2+ 3^2+ 4^2+ ....+ 100^2
=Σ_(k from 1 to 100) k^2

因為Σ_(k from 1 to n) k^2 =[ n(n+1)(2n+ 1) ] / 6

所以答案是100*101*201 / 6= 338350

2008-04-10 21:23:44 補充：
喔！　我看懂了．．
是加到第１００項
所以是樓上的　９４５　沒錯

偶然路過、這題其實不難。解法如下：
S=1+2+3+4+5+6....+100=5050
原式為：
S+[S-1]+[S-2]+[S-3]+[S-4]....+[S-99]=100S-[0+1+2+3+4...+99]
=100*5050-[5050-100]=505000-[4950]=500050

觀念：等加級數公式、原式重新一層一層排列即可。

下面那個同學提到的：原式化為
1平方+2平方+3平方+4平方+......+100平方=答案
也是很好的想法。不過這個公式要到高一數學才會提到，
證明法要用數學歸納法。數學歸納法為：
1平方+2平方+.....+N平方=???.....[一串]
若N項時成立則第N+1項為“那一串”+第N+1項=??????

加油喔！

2008-04-05 15:59:14 補充：
如果你是高中生這個要會喔！國中生的話這才算是難題。加油喔。

2008-04-05 16:53:21 補充：
對不起、我的式子列錯了，少算了很多。應該以樓下那個套公式的為準，他的答案是對的。你們這種頁面要怎麼算數學列算式阿？

是一是把它想成

1+4+9+16+.....
變成
1ㄉ平方+2ㄉ平方+3ㄉ平方+4ㄉ平方+....
應該是這樣
不是很確定
才剛學完
月考考完就忘了= =