standard deviation 有什麼作用?

Mean - 平均數

平均數是統計中的一個重要概念。小學數學里所講的平均數一般是指算術平均數(Arithmetic Mean)，也就是一組數據的和除以這組數據的個數所得的平均值，也稱為算術平均值。其計算公式為：


AM = 1/n (X1 + X2 + X3 + ...... + Xn)


在統計中算術平均數常用於表示統計對象的一般水準，它是描述數據集中程度的一個統計量。我們既可以用它來反映一組數據的一般情況，也可以用它進行不同組數據的比較，以看出組與組之間的差別。用平均數表示一組數據的情況，有直觀、簡明的特點，所以在日常生活中經常用到，如平均速度、平均身高、平均產量、平均成績等等。

另外一種常用平均數叫做幾何平均數(Geometric Mean), 公式為：


GM = (Y1 x Y2 x Y3 x ..... x Yn)^(1/n)


即n 個數據相乘後開 n 次方。

幾何平均數是求一組數值的平均數的方法中的一種。




但Mean很多時會與Median or Mode 混淆。



Mode - 眾數

數據中出現頻率最多的數字。

眾數指一組數據中出現次數最多的數據。用眾數代表一組數據，可靠性較差，不過，眾數不受極端數據的影響，並且求法簡便。在一組數據中，如果個別數據有很大的變動，選擇中位數表示這組數據的「集中趨勢」就比較適合。

當數值或被觀察者沒有明顯次序（常發生於非數值性資料）時特別有用，由於可能無法良好定義算術平均數和中位數。例子：{蘋果, 蘋果, 香蕉, 橙, 橙, 橙, 桃}的眾數是橙。



Median - 中值(又稱中位數）

在 n 個數據由大到小排序後，位在中間的數字。

在統計學中，中位數代表一個樣本、種群或機率分佈中的一個數值，其可將數值集合劃分爲相等的上下兩部分。對於有限的數集，可以通過把所有觀察值高低排序後找出正中間的一個作爲中值。如果觀察值有偶數個，則中值不唯一，通常取最中間的兩個數值的平均數作爲中值。

一個數集中最多有一半的數值小於中值，也最多有一半的數值大於中值。如果大於和小於中值的數值個數均少於一半，那麼數集中必有若干值等同於中值。



Standard Deviation - 標準差

在概率統計中最常使用做為統計分佈程度（statistical dispersion）上的測量。

假設有一組數值 X1, ..., Xn （皆為實數），其平均值為：


X(mean) = 1/n x (X1 + X2 + X3 + ..... + Xn)


此組數值的標準差為：


SD = {1/n x [(X1-X(mean))^2 + (X2-X(mean))^2 + (X3-X(mean))^2 + ..... + (Xn-X(mean))^2]}^(1/2)


簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標準差。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越細，代表回報較為穩定，風險亦較小。