古代圓周率的story

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圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比 （ratio of the circumference of a circle to the diameter） 。用符號π表示。中國古代有圓率、圜率、周等名稱。



　　古希臘歐幾里得《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數，中國古算書《周髀算經》（ 約公元前2世紀）中有「徑一而周三」的記載，也認為圓周率是常數。歷史上曾採用過圓周率的多種近似值 ，早期大都是通過實驗而得到的結果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取π=（）4≒3.1604 。第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德 ，他在《圓的度量》（公元前3世紀）中用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形 開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到3<π<3 ，開創了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或 阿基米德方法），得出精確到小數點後兩位的π值。



　　中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時（263年）只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確 到兩位小數的π值，他的方法被後人稱為割圓術。南北朝時代的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後 7位的π值（約5世紀下半葉），給出不足近似值 3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似 分數值，密率355/113和約率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發表於荷蘭工 程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數 值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力， 於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。



　　1579年法國數學家韋達給出π的第一個解析表達式 (^=開方)



兀/2=1/^2/1*1/2+1/2^*^1/2^*^1/2+1/2^+1/2^1/2....





此後，無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π 值表達式紛紛出現，π值計算精度也迅速增加。1706 年英國數學家梅欽計算π值突破100位小數大關。1873 年另一位英國數學家尚可斯將π值計算到小數點後707位，可惜他的結果從528位起是錯的。到1948年英國的弗 格森和美國的倫奇共同發表了π的808位小數值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。



　　電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室首 次用計算機（ENIAC）計算π值，一下子就算到2037位小數，突破了千位數。1989年美國哥倫比亞大學研 究人員用克雷－2型和IBM－VF型巨型電子計算機計算出 π值小數點後4.8億位數，後又繼續算到小數點後10.1 億位數，創下新的紀錄。



　　除π的數值計算外，它的性質探討也吸引了眾多數學家。1761年瑞士數學家蘭伯特第一個証明π是無理數 。1794年法國數學家勒讓德又証明了π2也是無理數。到1882年德國數學家林德曼首次証明了π是 超越數，由此否定了困惑人們兩千多年的「化圓為方」尺規作圖問題。還有人對π的特徵及與其它數字的聯系 進行研究。如1929年蘇聯數學家格爾豐德証明了eπ 是超越數等等。







圓周率的發展

古代

中國周髀算經

西方聖經 周一徑三

圓周率 = 3



元前三世紀 阿基米德

(希臘) 1. 圓面積等於分別以半圓周和徑為邊長的矩形的面積



2. 圓面積與以直徑為長的正方形面積之比為 11:14



3. 圓的周長與直徑之比小於 3 1/7 ,大於3 10/71



三世紀 劉徽

(中國)

用割圓術得圓周率＝3.1416稱為 "徽率"

五世紀 祖沖之

(中國)

1. 3.1415926 < 圓周率 < 3.1415927



2. 約率 ＝ 22/7



3. 密率 ＝ 355/113



1596年 魯道爾夫

(荷蘭)

正確計萛得 p 的 35 位數字

1579年 韋達

(法國)

"韋達公式" 以級數無限項乘積表示 p

1600年 威廉.奧托蘭特

(英國)

用p/σ表示圓周率



π是希臘文圓周的第一個字母



σ是希臘文直徑的第一個字母



1655年 渥里斯

(英國) 開創利用無窮級數求 p 的先例

1706年 馬淇

(英國)

"馬淇公式" 計算出 p 的 100 位數字

1706年 瓊斯

(英國) 首先用 p 表示圓周率

1789年 喬治.威加

(英國) 準確計算p 至126 位

1841年 魯德福特

(英國)

準確計算 p 至 152 位

1847年 克勞森

(英國)

準確計算 p 至 248 位

1873年 威廉.謝克斯

(英國) 準確計算 p 至 527 位

1948年 費格森和雷恩奇

(英國, 美國) 準確計算 p 至 808 位

1949年 賴脫威遜

(美國)

用計算機將 p 計算到 2034 位

現代 用電子計算機可將 p 計算到億位