n+1個正整數，其和為2n，證所有k<2n，有子集之和為k

令 S = { A(1), A(2)...., A(n), A(n + 1) } 其中 A(i) 為正整數，i 由 1 到 n + 1
且 A(1) + A(2) + ..... + A(n) + A(n + 1) = 2n

所以 0 < A(i) < n + 1 ，即每個A(i)值大於等於 1 ，小於等於 n，其中最多只有一個最大的正整數其值為 n 。

所以 S 的子集之和可以為 1 到 2n 的任何正整數
故任何一個正整數 k < 2n，S 有子集之和為 k

2008-03-25 22:24:50 補充：
為什麼 ： 0 < A(i) < n + 1 ，即每個A(i)值大於等於 1 ，小於等於 n？
因為每個A(i)是正整數，所以這些A(i)最小值等於1。其次，共有n+1項的 A(1) + A(2) + ..... + A(n) + A(n + 1) = 2n，其中 A(i)最小值等於1
如果其中有n項都等於其最小值 1 ，則最後一項就有最大值
2n - n = n
所以 0 < A(i) < n + 1 ，即每個A(i)值大於等於 1 ，小於等於 n

2008-03-26 09:01:02 補充：
為什麼可以知道：
"所以 S 的子集之和可以為 1 到 2n 的任何正整數"
答: 因為 S是由n+1個正整數A(i)所組成的集合，已得知 A(i)值大於等於 1 ，小於等於 n 。如果A(i)其中有n項都等於其最小值 1 ，第n+1項A(n+1)有最大值 = n，則S的子集S1可以只有1個A(i), 2個A(i)...,n個A(i)，S的子集之和可以為1到n的任何正整數。如果S的子集包括第n+1項A(n+1)與前述S1的組合，則S的子集之和可以為n=1到2n的任何正整數。綜上所述，S 的子集之和可以為 1 到 2n 的任何正整數

2008-03-26 09:01:44 補充：
抱歉，證明過程不夠詳細(仔細)

2008-03-26 09:47:58 補充：
重新調整證明過程，較清楚詳細的證明如下:
已知S為n+1個正整數A(i)的集合，且Σ A(i) = 2n。
∵A(i)是正整數，
∴A(i)最小值等於1。
∵Σ A(i) = 2n，如果有n項都等於1，則最後一項有最大值2n - n = n。
∴1<=A(i)<= n，其中只有一個最大A(i)值為 n 。
如果A(i)有n項都等於 1 ，第n+1項A(n+1)有最大值 = n，則S的子集S1可以只有1個A(i), 2個A(i), ..., n個A(i)，S1的子集之和可以為1到n的任何正整數。

2008-03-26 09:48:41 補充：
如果S的子集包括第n+1項A(n+1)與前述S1的組合，則S的子集之和可以為n=1到2n的任何正整數。
∴S 的子集之和可以為 1 到 2n 的任何正整數。
故得證任何一個正整數 k < 2n，S 有子集之和為 k 。

2008-03-26 12:50:59 補充：
S 不必等於
{1,1,...,1,n}
即不一定要 (n個1，1個n) 的情形，在邏輯上是在原命題的假設下，證明並推導出「所有正整數 k < 2n，S 有子集之和為 k」的結論。此結論是表示需要滿足任一正整數 k < 2n，S 有子集之和為 k，即可。舉出S = {1,1,...,1,n}的例子只是要證明 A(i)最大值為n。

{1,1,...,2,n-1}也可

1x(n-1) + 2 + (n-1)
=n-1+2+n-1
=2n