3次,4次,5次方程的根公式

(a)三次公式


全正式版的三次公式（ax3 + bx2 + cx + d = 0的通解）我就搵唔到，但半正式版的三次公式（x3 + ax2 + bx + c = 0的通解）我就搵到。



圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/realcubicformula/cubicformula.jpg



http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=CubicFormula


沒甚麼特別，都是用Cardano's method砌出來的。




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其實上面果條式已經非常接近「真正的三次公式」，只不過該方程的前設是：x的係數是1。

儘管如此，ax3 + bx2 + cx + d = 0的通解（也就是「真正的三次公式」），都可以用番上面果條式搵番出嚟。




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儘管如此，上述公式只能充當藝術品欣賞，並無實際用途，亦無需要記。



(b)四次公式


全正式版的四次公式（ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0的通解）我就搵唔到，但半正式版的四次公式（x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0的通解）我就搵到。


不過，半正式版的四次公式已經非常壯觀，全正式版的四次公式就更加不敢想像！




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圖片參考：http://images.planetmath.org:8080/cache/objects/1525/l2h/img14.png




http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=QuarticFormula


儘管如此，上述公式只能充當藝術品欣賞，並無實際用途，亦無需要記。



(c)五次公式




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真的很有心機去prepare個答案。

感覺上根公式開始變得沒有意義，我們是人類，需要Mnemonic，一些讓我記不多事情但可以再derive這個公或的關鍵，三次求根，for example，精神在於那個好正既substitution。

如果可以post埋網上calculator的link就更好了。

判別式

最先嘗試解的三次方程是實係數（而且還是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根數目不一定是3。所遺漏的根都在\mathbb{C}裡，就是\mathbb{R}的代數閉包。其中差異出現於U\,和V\,的計算中取平方根時。取立方根沒有產生問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式Δ = p3 / 27 + q2 / 4,：

* 若Δ > 0，只有一個實根，其他兩個是共軛複根。
* 若Δ = 0，有一個實重根：一個三重根或一個二重根和一個單根，都是實根。
* 若Δ < 0，有三個實根。

注意到至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在+\infty\,和-\infty\,的極值是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號。由於多項式是連續函數，從介值定理知道它在某點的值為0。

四次方程的通式是

a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 when a_0\ne0.

而5次方程暫時是沒有解法的= =