normal ditribution(difficult)

正態分佈首先由棣美佛（Abraham de Moivre）在1734年發表的一篇關於二項分佈文章中提出。（第二版The Doctrine of Chances，1738年重新印刷）in the context of approximating certain binomial distributions for large n。拉普拉斯對棣美佛的結論作了擴展，發表在Analytical Theory of Probabilities（1812年）所以在這裡只談棣美佛的發現。

棣美佛是由伯努利大數定律的基礎上﹐導出了以二項分佈在極限情況下的正態分佈曲線的表達式

18世紀時﹐概率中的其中一個問題是如何求二項分佈中連續多項之和。如P(0)+P(1)+...+P(10)

在1721年﹐棣美佛已經得到二項分佈(1+1)^n中心項的一個表示式。若n=2m﹐則中心項即是b(m)。

後來在1725年﹐棣美佛的朋友史特林得到b(m)的另外2個表示式。而且由此可以推到b(m)~√(2/nπ)。(棣美佛後來亦同時用沃利斯公式証到了同一結果。)請注意這個表示式用了無理數π!

在1730年﹐棣美佛在其「分析雜論」中指出了對很大的m
m!=√(2π)m^(m+1/2)e^(-m)e^(1/(12m)-1/(360m^3)+...)
若略去e^(1/(12m)-1/(360m^3)+...)﹐則得到現在常用的史特林公式
m!~√(2π)m^(m+1/2)e^(-m)。
用這條式可以得到b(m)~√(2/nπ)。而且對較少的m值﹐這條式也可以給出很好的估計

其後﹐棣美佛在「機會學說」第二版中給出了b(m)/b(m+d)的公式
ln[b(m)/b(m+d)]~(m+d-1/2)ln(m+d-1)+(m-d+1/2)ln(m-d-1)-2mlnm+ln[(m+d)/m]

借此棣美佛証明了當m → ∞時
b(m+d)/b(m)~exp(-2d^2/n)

因此b(m+d)~b(m)exp(-2d^2/n)~2/√(2nπ)exp(-2d^2/n)

這條式說明了:二項式中各項的值示為一條垂直線的長度﹐則其上端點會抽繪出一條曲線。即是今日所說的正態概率曲線。由此棣美佛證明到﹐在n次獨立重複試驗中(p=q=1/2)事件中得到m次的概率之期望值滿足以下方程式

2008-03-05 14:31:39 補充：
lim(n→ ∞)P(a＜(m-n/2)/√n/2＜b)=∫1/√(2π)exp(-x^2/2) dx [由a到b]

這條公式第一次揭開了離散型隨機變數和連續型隨機變數之間的關係。

不過當時因未知到∫1/√(2π)exp(-x^2/2) dx =1 ﹐所以還未知道1/√(2π)exp(-x^2/2)是一個概率密度函數。這要等到1774年後才由拉普拉斯完成