請利用微積分證明重力公式F=GMm/r^2

其實很多時候，人的確只是可以靠靈光一閃來得出結論，正如大家做一條數，有時你無端端就可以想出個辦法來，但別人問你如何想出，實在好難答。

不過牛頓的思路，我想我們也可以慢慢估下的：

1)牛頓認為，地球拉我們的力，與地球拉月球的力，與太陽拉地球的力是相同的。而這些力的方向，都是指著拉人那個（如地球在地球拉月球的case）的中心。因此認為這個力是向心（central force）的。

2)牛頓認為這個力會隨著距離增加而減少。因此F = kr-n。牛頓用當時已知的地球的radius和地月距離，計出地球表面拉物件的力（用g來計），與地球拉月球的力（已知月球公轉的period是27.3日左右），兩個力的比例，剛好可以用inverse square來解釋，再深入的計算，得出如果是inverse square和central force的話，一切星球圍著太陽的軌跡，將會是隋圓形，而且太陽在其中一個focus，並證出了kepler 的三條定律。

3)大家都知，個weight of一件物件 = mg，因此F應該proportional to m，即物件的質量。牛頓之前認為有action and reaction pair，因此覺得萬有引力也應該是這樣，因此地球拉我們的力，應等於我們拉地球的力。兩者只是差了direction。因此，這個F，應該也有M，即地球（或拉人那個）的MASS。

可是為甚麼會是mM，而不是M + m或其他？大家可以看看W = mg這裹看出的。F，即是W，是proportional to m的。要是是proportional to其他，如m + M，則W = km + kM了（k是constant），不再是 = mg。因此，F不可能是和M + m成正比，亦因為有Newton's 3rd law，要有M和m的存在，且要是兩個互轉位置時要一樣（不可以是除），因此就只有這樣了。

故此，綜合上述所說，就得出F = GMm/r這條式。當年牛頓認為因為F太少，我們不能得知G，但之後確實有人度出G是多少，然後得出地球的mass，用這條式計出了許多的天文現象（如天王星、海王星的發現），證出這條式有一定的準確度。但當然，這條式始終是隨意的，只是靠「吹出來」，因此在mass是好大的時候，好近太陽，這條式就不準確了，要用愛因斯坦的廣義相對論。

牛頓為甚麼可以得出這樣的公式？上面只是現時的人回想，但最主要的原因，還是因為他是個天才。他和其他偉大的科學家，如Euler之類，只不過是隨意的猜想，卻能得出偉大的結論。因為他們都有科學的直覺。至於那些想錯了方向的人，當然不會在歷史留名了。（當時的人連limit是甚麼也不會清楚，但微積分也不一樣是做對了嗎？）

附：inverse square的猜想：

已知地月距離 = R = 3.84 108m

地球radius = r = 6.4 106m

g = 9.81ms-2

Let F = kr-n

地球表面的力 = F = 9.81m (m for mass)

月球受的力 = f = mrw2

w = angular frequency = 2π/T (T是period = 27.3日 = 2358720s)

F/f = 計出的數 = (r/R)-n

take一take log，就知n差不多等於2

PS：古希臘人已用太陽計出地球的radius，又用一些方法（唔計得左，sorry）得知地月距離。

2008-03-04 02:37:15 補充：
應為F = GMm/r²，不是F = GMm/r