math 難題 - Ans.fyi 參考答案

math 難題

2008-03-01 4:42 am

設X1, X2, …, X10 都是正整數，X1< X2 < X3 < … < X10，且X1 + X2 + …+ X10 = 2006，求X5 的最大可能值。
若n3+3n+2006 能被 n + 3 整除而 n 為百位整數，求 n 的最大值。

回答 (1)

用戶82723

2008-03-01 9:01 am

✔ 最佳答案

要使 X5 的可能值盡量大，
X1,X2,X3,X4 的值要盡量小，
但 X1< X2 < X3 < X4 , 它們最小只能是 1, 2, 3, 4

同樣 X6, X7, ... X10 的值也要盡量小，
因此它們只能是 X5+1, X5+2, ... X5+5

從而得 1 + 2 + 3 + 4 + X5 + (X5 + 1) + (X5 + 2) + ... +(X5 + 5) = 2006
6X5 = 1981
X5 = 330.167

因此 X5 最大的可能值是 330
不難驗算，當X5 = 330,
X5 + X6 + ... + X10 = 1995
而 2006 - 10 = 1996
因此 X5 的值不可能比 330 大

利用長除法，得到n^3+3n+2006
= (n + 3)(n^2 - 3n + 12) + 1970

因為n^3+3n+2006 能被 n + 3 整除
即 1970 也可給 n+3 整除
n 是百位數，最大值 = 1970/2 - 3 = 982

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