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用戶7639

2008-02-28 10:49 pm

已知正弦公式a/sinA=b/sinB=c/sinC=k,其中∠A+∠B+∠C=π且k>0。利用複角公式証明(b+c-a)/2bc=cosA。
【注意:這相當於利用正弦公式導出餘弦公式。】

回答 (1)

魏王將張遼

2008-02-28 11:27 pm

✔ 最佳答案

a = k sin A
b = k sin B
c = k sin C
(b2 + c2 - a2)/2bc = k2(sin2 B + sin2 C - sin2 A)/2k2sin B sin C
= (sin2 B + sin2 C - sin2 A)/2sin B sin C
= [sin2 B + (sin C - sin A)(sin C + sin A)]/2sin B sin C
= {sin2 B + 4sin [(C - A)/2] cos [(C + A)/2] sin [(C + A)/2] cos [(C - A)/2]}/2sin B sin C
= [sin2 B + sin (C - A) sin (C + A)]/2sin B sin C
= [sin2 B + sin (C - A) sin B]/2sin B sin C
= [sin B + sin (C - A)]/2 sin C
= sin [(B + C - A)/2] cos [(B - C + A)/2]/sin C
= sin [(π - 2A)/2] cos [(π - 2C)/2]/sin C
= sin (π/2 - A) cos (π/2 - C)/sin C
= cos A sin C/ sin C
= cos A

參考: My Maths knowledge

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