✔ 最佳答案
x in R^m 而 A 是 m by n matrix, 那麼, R(A) 是 row space 還是
column space? --- 這應是 "煩惱即是菩提" 提問重點.
甚麼是 "projection"?
In linear algebra and functional analysis, a projection is a linear transformation P from a vector space to itself such that P2 = P.
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http://en.wikipedia.org/wiki/Projection_%28linear_algebra%29
看任一本線代教本. 應該也是同樣定義.
R(A) 應是 A 的 column space. Column space 表示為 R(A), 是因
它就是 T: R^n --> R^m defined by T(z)=Az 的 range. "R" 是指 range,
不是指 row.
那麼, "x does not have a unique projection onto R(A)" 是對還是錯?
首先, 到 R(A) 的 projection 當然是存在的. 即使 A 是零矩陣因而
R(A) 是零空間, a projection into R(A) 也是存在的.
但這 projection 是否 onto?
"x does not have a unique projection onto R(A)" 這句話的 "x" 如果
是指特定的一個 x, 此處的 "onto" 只是表示有一個 projection 把
x 送到 R(A) 而已, 當然沒問題!
若上述 "x" 是指可在 R^m 中任意變, 這等於說" R^m 到 R(A) 的
projection 是否可為 onto? 這當然啊! R^m 是 R(A) 與 A^T 之 kernel
的直和, 因此存在那樣的 projection.
如果只有 "projection" 而無方向, R^m 不只一種方式表示為 R(A)
與 R^m 之另一子空間的直和, 因此 projection 不是唯一的.
然而, orthogonal projection 是最常用的一種 projection, 因此有時
沒特別說明 projection 是 along 哪個方向時, 指的就是 orthogonal
projection.
另一方面, "orthogonal" 的觀念來自 inner product. 而在 R^m 上
有無數種方式定義 inner product. 因此, 即使考慮 orthogonal
projection, 它仍不唯一! 事實上, 任一 projection 應該都可經由
適當的 inner product 定義使它 orthogonal.
可是, 在初等課程以及許多應用上, 是不常去考慮多種內積定
義的. 因此, 在常用(典型)內積定義下, orthogonal projection onto
特定的子空間是唯一的, 與這子空間怎麼來的沒有關係. 現在
考慮的子空間是 R(A), A 的各行是否構成線性獨立集, 並不影
響 orthogonal projection onto R(A) 的唯一性.
