✔ 最佳答案
之前答的格式亂哂大龍... 係度再寫多次...
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yahoo 一向都水皮 XD
Representation Theory 係一門好廣泛的學問, 其下有好多分支. 最好遁序漸進:
1) Finite Group
2) Lie Algebra
3) Lie Group - Compact, non compact, algebraic...
4) Operator Algebra, C* algebra, Quantum Groups
Representation Theory 本生就是說, 可以將你的 Algebraic Object 睇成一堆 Vector Space Endomorphism (即係 linear map), 而互相的 algebraic property 係得以保存.
當然, 要學 Representation Theory of Finite Group 要識一 D Group Theory 的東西. 但其實唔需要好深入, 最基本的定理 定義已經足夠. 但係因為要應用到 Group Algebra, 所以一點 Ring, Modules 的認識是需要的.
這一堆的東西, 建議找Abstract Algbera 的入門書. 我會推薦 Dummit & Foote: Abstract Algebra, 有哂上面所講的所有野.
Finite Group 只是一個大概究竟 Representation Theory 係讀D 乜, 最重要的元素是什麼. 有了這些認識, 去讀其他的 Representation Theory 先有意思. 其中最重要的結果是 Schur's Lemma, Peter Weyl's Theorem 同 Character Theory. --- 這些都只有一個目的, 就係做 Classification of Irreducible Representation. Representation Theory 最主要就是想將以上的結果推廣到 Lie Group 去.
但由於 Lie Group 的結構太過複雜, 數學家會研究佢的 Tangent Space, 亦即係 Lie Algebra. 這就是讀 Representation Theory of Lie Algebra 的動機. 而 (finite dimensional semisimple) Lie Algebra 的 Classification 都已經完滿解答, 用的是 Dynkin Diagram 去分類.
因為係一個 Well Known 結果, 市面上可以找到好多入門書. 而正宗的入門為Humphrey: Introduction to Lie Algebra and Representation Theory. 不過我認為上網搵唔同大學的 Lecture Notes 可能會較容易學習. (不過搵D 渣學校, 會淺D)
有了 Lie Algebra 的 Representation Theory, 就可以攻擊 Lie Group 的 Representation Theory 了. 這個更加博大精深, 就連很簡單的 Classification of GL(3,R) 的 Representation 還是 Open Problem. 於是就分了 Compact, Semisimple 同 Reductive Lie Group. Compact Lie Group 的 Representation 已經解決了, 就是上面提到的 Peter Weyl Theorem. Semisimple 的 Technique 用了大量的Harish-Chandra Modules , 這些都是要明白哂 Lie Algebra 才可以用得到. Reductive Lie Group 還是熱烈的研究中. Knapp: Lie Groups: Beyond an Introduction 是這方面的權威, 但會很難讀了.
最後 Operator Algebra 其實跟上面的冇乜關係, 但他的 Representation Theory 對物理學有好大影響, 因為 Quantum Mechanics 就係由 Representation Theory of Heisenberg Algebra 得來的. 其應用已推廣到 Quantum Field Theory 等等最高等的理論物理學中. 這些入門........ 你去到再問吧... =.=!
