中六數歸證明一問(幫我看這樣解釋是否正確^^)

設P(n)表命題
若a,b為任意兩正整數使得max(a,b)=n n屬於N則a=b"
max (a,b)代表a和b中較大的一個，如max (3,7) =7 max (4,4)=4
顯然p(1) 為真
假設p(k)成立。即max(x,y)=k成立
今令a,b為兩個任意正整數，使max(a,b)=k+1
則存在兩個正整數
x=a-1 y=b-1
使max(x,y)=k
由假設，p(k)為真，得知x=y
因此a=b，即p(k+1成立)

要求看出以上論點錯在那裡(提示X同Y是否正整數)

我想問解釋可以是否如此？
不一定要a和b同時減1才能使p(k)成立
只需把a或b較大者減1便可從p(k+1)>p(k)成立。
如例子中
max(a,b)=(k+1)
假設k+1=2
可能只是max(2,1)=2
若大家減一
則等於max(1,0)=1 0不是正整數。
請問我可以這樣證明嗎？