[終極數學難題]請證明1+1=2

1+1=2??
不要小看這個公式，1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。
有不少人都可能曾經問過"為何1+1=2？"這個看似多餘(!?)的問題。現在我嘗試向有興趣的網友簡單介紹一下怎樣在公理集合論的框架內証明 "1+1=2" 這句對絕大多數人來說都"顛撲不破"的數學述句。首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，它們和集合的分別在此不贅），故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：

0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}


〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕

現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：

0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}

[Λ為空集]

一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。

在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。

〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕

跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。

定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：
(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。

映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。

現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下：
1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)

〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]

1+ 1= 2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然"得到的結論。但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視 關於自然數的基礎問題。我相信這方面最"經典"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica"中的那個。
我們可以這樣証明"1+1 = 2"：
首先，可以推知：
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。]

wow@ @
聽就聽過好深,prove真係第一次見

圖片參考：http://hk.yimg.com/i/icon/16/3.gif
1+1 =2就好似：

圖片參考：http://www.yesmagazine.com.hk/images/yescard/63/s/45.jpg

1 張yes card+1張yes card=2張yes card
如果1+1=3的話，咁就世界大亂啦！因為因此物價會上漲不特只,而且誤人姊弟。
又做多個比喻:


圖片參考：http://th133.photobucket.com/albums/q75/kseena/th_dollar.jpg

=
圖片參考：http://th133.photobucket.com/albums/q75/kseena/th_dollar.jpg

1元+1元=2元
又多一個比喻：

圖片參考：http://th206.photobucket.com/albums/bb52/cutii99/th_hand.png

=
圖片參考：http://th206.photobucket.com/albums/bb52/cutii99/th_hand.png

1隻手+1隻手=2隻。
如果=3隻手的話，我地未3手怪人？
圖片參考：http://hk.yimg.com/i/icon/16/10.gif

上面的人抄來抄去, 睇到我都冇心機睇。

要答得5分的[終極數學難題], 真係好難。

咁好啦, 等我簡單用個例子說明啦。

我自己一個人 + 揸住塊鏡照自己 = 二個我。

明嗎？就萛唔同 unit (單位), 都可以加到架！這就是 1 + 1 = 2 的精髓所在！

仲唔明？你試下將 2 + 2 , 用唔同的單位, 睇下加到o的乜？

１＋１為什麼會等於２　大學會有證明　單單一個證明可以讓你抄到手軟

不要小看這個公式，1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。
有不少人都可能曾經問過&quot;為何1+1=2？&quot;這個看似多餘(!?)的問題。現在我嘗試向有興趣的網友簡單介紹一下怎樣在公理集合論的框架內証明 &quot;1+1=2&quot; 這句對絕大多數人來說都&quot;顛撲不破&quot;的數學述句。首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，它們和集合的分別在此不贅），故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：

0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x{y}ε1)}


〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕

現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：

0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}

[Λ為空集]

一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。

在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。

〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕

跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。

定理：命&quot;|N&quot;表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：
(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。

映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。

現在，我們可以証明&quot;1+1 = 2&quot; 如下：
1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)

〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]

1+ 1= 2&quot;可以說是人類引入自然數及有關的運算後&quot;自然&quot;得到的結論。但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。我相信這方面最&quot;經典&quot;的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的&quot;Principia Mathematica&quot;中的那個。
我們可以這樣証明&quot;1+1 = 2&quot;：
　首先，可以推知：
αε１&lt;=&gt; (Σx)(α={x})
βε2 &lt;=&gt; (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 &lt;=&gt; (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
　γε1+1
&lt;=&gt;(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
&lt;=&gt;(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
&lt;=&gt; γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。



michael.

例:我有一塊餅,小明送了我一塊餅,結果我有二塊餅.

2008-02-13 21:48:24 補充：
即１ １=２

2008-02-13 21:49:38 補充：
1 1=2

2008-04-15 22:52:41 補充：
不如你問:請證明2+2=4呀!

雖然知道會拖低”採用率”，但也忍不住答一句：
若果能證明１＋１＝２的話，曉得證明的人都必定拿得”數學界的菲爾茲獎（Fields Medal）”，還需用這麼多時間來拿你十分知識分數。
你說，我說的有沒有道理。

2008-02-13 20:33:24 補充：
噢！連１０分都沒有，原來只得５分

2008-02-13 20:34:51 補充：
能夠證明１＋１＝２的人，必定能震撼全世界，你說是嗎？

雖然我不懂得證明，但可以告訴你一些相關的知識。

這是一道純數(pure maths)的題目，牽涉到數學本身的性質。
要證明 1+1=2，我們首先要了解甚麼是 1、甚麼是 2，還需知道甚麼是 0。
至於為甚麼要知道甚麼是 0，這是因為雖然 0 是一個不實在的數字，但它代表了數字的抽象概念，而且讓我們知道數字有它本身的值。即使 0 表面上是不存在和沒有大小的，它在數學上有非常重要的角色。
另外，+ 和 = 亦有在這算式中出現，它們也是不可或缺的。要詳細地證明 1+1=2，我們還須明白 + 和 = 的意義。

希望這些資料幫到你。

一個apple+一個apple=2個apple
--&gt;所以1+1=2

1隻手指加1隻手指是等於2隻手指，而唔是三隻手指......

為什麼1+1=2
因為先人留下來的智慧~導致我們認知上一定認為1+1=2
如果先人留下來的知識是1+1=500的話...
那我們現在的認知就變1+1=500~
那麼這時候就會有人想為什麼1+1=500