English questions

1. 這是動詞和名詞的搭配問題.
study 是研究/學習, 按語意邏輯, 我們只能研究 "某學科" "某手藝" "某種學問", 不可能 "研究一個學位"
do a degree 的配搭比較合理, 因為do 的意思廣泛, do a project, do a job, do a research...... 總之在某事情上用功就是do, do a degree 便可以解為"為學位而努力".
然而用do 只是口語, 書面可以用 studying for a degree.

2. 兩句都對, 兩句都有人用的, Are you feeling better? 並非錯, 外國人都講的
只是一句口語, 兩者的意義沒有甚麼嚴格分別. 放心用.

you dont study a degree, you do a degree

i think that "are you feeling better now" is a slightly better question... so i dunno...