勾股定理(畢氏定理)一問

引言

世界上唯一一條「不是」定理的定埋是甚麼？那就是著名的畢氏定理。眾所周知，畢氏定理是指直角三角形的斜邊（hypotenuse）的平方等於另外兩邊的平方之和，這種超過三百多種証明方法的定理，究竟是誰發現的？



最早的發現

早在公元前五、六世紀，在克羅托那有一個秘密組織「畢達哥拉斯學派」。這個組織相信「萬物皆源於數」，而且它無論在數論、幾何、天文、音樂等都有很高的造詣。這個教派有個很嚴格的規條，就是內部的發明及創作不可以對外宣揚。相傳這個學派發現畢氏定理後，宰了 100 頭牛來慶祝，所以「畢氏定理」又稱為「百牛定理」。



最早而嚴格的証明

由於這個學派不得對外宣揚，所以其發現在歷史上並無確實的記載。追溯歷史，最早對畢氏定理作嚴格證明的要算是希臘的歐幾里得，他在《幾何原本》編寫的證明是現代數學教科書採用的。



中國及埃及人的貢獻

公元一世紀，中國最古老的數學及天文著作《周髀》記載了周朝的大夫商高與周公的大段對話，指出夏禹治水時知曉利用 3 : 4 : 5 來構成三角形，時間上比不晚於埃及的最早記錄。《周髀》中更明確寫出計算直角三角形弦長的方法：「勾股各自乘，并而開方除之」。由此可知中國人在那時已掌握勾股定理（畢氏定理又名勾股定理）。

另外，數學史家 M. B. 康托爾（Moritz Benedikt Cantor，1829 - 1920）已推測古埃及人已懂得運用邊長為 3 : 4 : 5 的直角三角形作直角的概念，以達致測量、建築學上的用途。



「普林頓 322 號之謎」

一塊編號為「普林頓 322」的巴比倫泥板，它印有一組組完整的三列數字，像 (3, 4, 5) 等。起初學者以為這是古時的賬目表。後來經過伊格鮑爾 （Otto Neugebauer）及薩克斯（A. Sachs）的研究，謎團才在 1945 年解開。原來這一串數字是勾股數（一組能作為直角三角形的邊長的正整數稱為「勾股數」）。「普林頓 322」涉及的勾股數十分巨大，若巴比倫人不熟識勾股定及勾股數的參數表，根本無法靠巧合而湊出這些數字來。巴比倫人在公元前二千年已有這極出色的成就，實在令人驚嘆！


參考︰列志佳等。數學的故事 — 畢氏定理。九章出版社。



內容重點:

1.畢氏定理

在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方

若 角C = 90o ， 即 a2+b2 = c2 [簡記：畢氏定理]


2.畢氏定理的逆定理

若三角形中較短兩邊的平方和等於最長一邊的平方，則該三角形是一個直角三角形，而最長一邊所對的角是直角

若 a2+b2 = c2， 即 角C = 90o [簡記：畢氏定理逆定理]




相關資源:
1. http://www.geocities.com/Tokyo/Fuji/1335/pyththm.html
2. http://www.hktayy3.edu.hk/~maths/resources/f2/f2_11.php
3.http://www.hkedcity.net/resources/common/res_detail.phtml?res_cntr_id=38989
4.http://db.math.ust.hk/articles/pyth/c_pyth.htm