有冇睇過幾何圖形嘅書

《幾何原本》淺釋
梁子傑
前言
在新的《中學數學課程綱要》「以演繹幾何學習幾何」的部分中提到，教師須「透過歐幾里得的故事和他的著作《幾何原本》，發展以演繹方法來研究幾何圖形的特性。」但現時一般中學教師都甚少機會接觸到《幾何原本》一書，試問在施教時，又如何處理這段課文呢？撰寫這文的目的，就是擬扼要地為大家介簡《幾何原本》一書的歷史背景、該書的內容和它對後世數學發展的影響。
背景：希臘數學的「黃金時代」
從公元前 338 年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前 30 年羅馬消滅最後一個希臘化國家托勒密王國的三百餘年，史稱希臘數學的「黃金時代」。這個時期，希臘數學的中心從雅典轉移到了亞歷山大城。亞歷山大城是馬其頓帝國君主亞歷山大大帝征服埃及後在地中海之濱建立的城巿。亞歷山大去世後，帝國一分為三。托勒密統始下的希臘埃及，定都於亞歷山大城，並於公元前 300 年左右，開始興建規模宏大的藝術宮（或譯博物館）和圖書館，提倡學術，羅致人才，使亞歷山大城成為希臘文化的首府，那裏學者雲集，先後出現了歐幾里得（Euclid, 330 B.C. – 275 B.C.）、阿基米德（Archimedes, 287 B.C. - 212 B.C.）和阿波羅尼斯（Apollonius, 262 B.C. - 190 B.C.）三大數學家，他們的成就標誌著古典希臘數學的巔峰。
歐幾里得及《幾何原本》
歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者。關於他的生平我們所知甚少。根據有限的記載推斷，歐幾里得早年就學於雅典，公元前 300 年左右應托勒密一世之邀到亞歷山大，成為亞歷山大學派的奠基人。歐幾里得寫過不少有關數學、天文、光學和音樂方面的著作，在這些著作中，最重要的莫過於《幾何原本》了。
《幾何原本》是一本劃時代的的鉅著。其偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起一個演繹推理的體系。由歐幾里得之前的數學家所積累下來的數學知識，大多數都是零碎和片斷的，歐幾里得借助於邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，整理成一個嚴密的系統，並成為《幾何原本》一書。歐幾里得完成了這一艱巨的任務，對整個數學的發展產生了深遠的影響。
《幾何原本》的英文譯名為 Elements，原意是指一學科中具有廣泛應用的重要定理。歐幾里得在這本著作中用公理法對當時的數學知識作了系統化、理論化的總結。全書共分 13 卷，包括有 5 條公設、5 條公理、119 個定義和 465 個命題，構成歷史上第一個數學公理體系。各卷的內容大致可分類如下：
《幾何原本》各卷內容分類



第一卷
幾何基礎篇
23 個定義、48 個命題；另外提出了 5 條公設和 5 條公理，但之後就再沒有加入新的公設或公理。

第二卷
幾何代數
以幾何方式研究代數公式。例如：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2。

第三及第四卷
圓形及正多邊形
討論圓形的性質和正多邊形的繪畫方法。

第五卷
比例論

第六卷
相似圖形

第七、八、九卷
數論
探討偶數、奇數、質數、完全數等性質。

第十卷
不可公度量
共有命題 115 個，是最冗長、最富爭議性但最精密的一卷。

第十一至第十三卷
立體幾何
探討立體幾何中的定理，並證明祇有五種正多面體的現象。

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