What is the domain of x^x? Please answer in details.

首先, x>0 時係 well defined, 冇問題.
00 係唔 defined 的.
到負數, 負整數當然冇問題: n(-n) = 1/(-n)n
如果x 唔係有理數, 因為 (負數) (無理數) 都係唔 defined 的, 所以所有無理數負數都唔係 domain. (*)
當 x 係有理數, -m/n 化到最簡, 當 n 係 odd 的時候, x^x = -1/(m/n)(m/n)
當x = -m/n, n 係 even, 就唔 define, 因為 (負數)1/n 係唔 defined 的
於是, xx 的 domain 係 {-m/n | n = odd, gcd(m,n)=1} U (0, oo)
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(*) 解釋: 無理數次方係用 a^x 的continuity 去 define 的, 但當 a<0, a^x 這個 function 在兩個dense set {-m/n | n odd} 同 {-m/n| n even} 都有唔同 value( 包括complex value), 跟本唔 continuous, 所以不能去 define x = irrational 時a^x的 value)