F.4 附加數學 - 二倍角公式

Q: 若 sinA ＝ 1/3 且 A 是銳角, 試求 (cosA+cos 2A )/(1+sinA+sin 2A ) 的值
Sol:
sinA ＝ 1/3
sin2A ＝ 1/9
1 － cos2A ＝ 1/9
cos2A ＝ 8/9
cosA ＝ ± 2√2/3 ( cosA ＝ - 2√2/3 rejected )
( cosA ＋ cos 2A ) / ( 1 ＋ sinA ＋ sin 2A )
＝ ( cosA ＋ 2cos2A － 1 ) / ( 1 ＋ sinA ＋ 2sinAcosA )
＝ ( 2√2/3 ＋ 2 * 8/9 － 1 ] / ( 1 ＋ 1/3 ＋ 2 * 1/3 * 2√2/3 )
＝ ( 6√2/9 ＋ 7/9 ) / ( 12/9 ＋ 4√2/9 )
＝ ( 6√2 ＋ 7 ) / ( 12 ＋ 4√2 )
＝ ( 6√2 ＋ 7 ) ( 12 － 4√2 ) / [( 12 ＋ 4√2 ) ( 12 － 4√2 )]
＝ ( 72√2 ＋ 84 － 48 － 28√2 ) / ( 144 － 32 )
＝ ( 36 ＋ 44√2 ) / 112
＝ ( 9 ＋ 11√2 ) ∕ 28
Ans: ( 9 ＋ 11√2 ) ∕ 28

由於sinA= 1/3 且A是銳角

cosA = √8/3
(cosA + cos2A) / (1 + sinA + sin2A)
= (cosA+1﹣2sin2A)/(1+sinA+2sinAcosA)
= [(√8/3) + 1﹣2(1/3)2]/[1+(1/3)+2(1/3)(√8/3)]
= [(√8/3)+(7/9)]/[(4/3)+(2√8/9)]
= (6√2+7)/(12+4√2)
= (6√2+7)(3﹣√2)/4(3+√2)(3﹣√2)
= ( 9 + 11√2 ) / 28

2008-01-23 22:41:52 補充：
cos2A = 1﹣2sin²Asin2A = 2sinAcosA

2008-01-23 23:40:44 補充：
先求cosA，有2種方法：你可以畫一直角三角形，用畢氏定理計或利用1﹣cos²A = sin²A 計得出cosA = √8/3後，將cosA和sinA代入此式(cosA+1﹣2sin²A)/(1+sinA+2sinAcosA)將(6√2+7)/(12+4√2)有理化，得出( 9 + 11√2 ) / 28 答案。

2008-01-23 23:46:07 補充：
補充一點：(6√2+7)/(12+4√2)= (6√2+7)/4(3+√2)= (6√2+7)/4(3+√2)×(3﹣√2)/(3﹣√2)= (18√2﹣12+21﹣7√2) / (36﹣12√2 + 12√2﹣8)= ( 9 + 11√2 ) / 28