傳統拍子機的原理!17,18日回答有機會最佳解答!

若忽略阻尼（damping），這是一個比較複雜的 simple harmonic motion（S.H.M. 簡諧運動）。
概括來說，當金屬片的位置越高，控制桿的擺動頻率便越低。

在數學上導出如下：

圖：http://i235.photobucket.com/albums/ee164/wmheric/metronome.jpg
圖中藍色部分為彈簧。

一個質點的轉動慣量（或慣性矩, moment of inertia）I 定義為它的質量 m 與它和轉軸垂直距離 r 的平方之積，即 I = mr^2。在一個系統中的慣性矩則為每點慣性矩的和（Σ）。
從上圖得 I = Σ mr^2 = mη^2 + mξ^2

慣性矩 x 角加速度 = 力矩的總和
設順時針力矩為正，得
I (d^2 θ/dt^2) = -ξMg sin θ + ηmg sin θ - kxη cos θ　（(d^2 θ/dt^2) 為 θ 對 t 的二次導數）
因為 x = η sin θ，所以
I (d^2 θ/dt^2) = -ξMg sin θ + ηmg sin θ - (kη^2)/2 sin 2θ　（sin 2θ = 2 sin θ cos θ）

在一般情況下，k << 1（k 比 1 小很多）；因為 θ 的單位是弧度（radian），所以當 θ 很小時，sin θ 接近 θ。因此，我們有
I (d^2 θ/dt^2) = (ηm - ξM)gθ
(d^2 θ/dt^2) = [(ηm - ξM)gθ]/(mη^2 + Mξ^2) ...(＊)

從簡諧運動公式 (d^2 θ/dt^2) = -(ω^2)θ 得　（ω 為控制桿的角頻率）
ω^2 = [(ξM - ηm)/(mη^2 + Mξ^2)]g

為了清楚顯示 ξ, η 與 ω 的關係，假設 η = λξ，M = Nm　（這純粹為了減少符號）
再用 (＊) 得：
(d^2 θ/dt^2) = [(λξm - ξNm)gθ]/(m λ^2 ξ^2 + Nmξ^2) = -(ω^2)θ
化簡後得：

ω^2 = [(N - λ)/(λ^2 + N)](g/ξ)

（另外，頻率 f = ω/(2π)）
由此式可看出當 λ 越大（即 η 與 ξ 的比越大；亦即金屬片放得越高），頻率 f 越小。