香港培正中學數學

8. 一筆金錢, 由甲, 乙, 丙, 丁四人分享. 甲, 乙共分得總數的 40%, 乙, 丙共分得

總數的 50%, 甲, 丙共分得總數的 60%, 且丙分得 4200 元. 問丁分得多少元?

Sol:

設甲得 x%, 乙得 y%, 丙得 z%

則

x ＋ y ＝ 40 ....... ( 1 )

y ＋ z ＝ 50 ....... ( 2 )

x ＋ z ＝ 60 ....... ( 3 )

解聯立方程式, 得

x ＝ 25, y ＝ 15, z ＝ 35

丙得 4200 元

4200 ÷ 35% ＝ 12000 ....... 所有的錢

1 － 25% － 15% － 35% ＝ 25% ....... 丁所得的比例

12000 × 25% ＝ 3000

Ans: 3000 元

9. 求最小的質數 p, 使得 2002 － p 和 2002 ＋ p 均為質數.

Sol:

在所有的質數(3除外)中, 除以 3 的餘數均為 1 or 2

而 [ 2002 － (P/3的餘數)] ÷ 3 和 [ 2002 ＋ (P/3的餘數)] ÷ 3 二者中

其中有一個必能被 3 除盡

因此, 2002 － p 和 2002 ＋ p 二者中, 必有一數為 3 的倍數

除非此數能被 3 除盡

在所有質數中, 能被 3 除盡的質數只有 3

所以 2002 － P 必等於 3

2002 － P ＝ 3

P ＝ 1999

再檢驗 2002 ＋ P 是否為質數.

2002 ＋ 1999

＝ 4001

＝ 1 × 4001

4001 為質數

因此, 最小的質數 P 為 1999

Ans: 1999

10. 圖中, C 和 E 分別為 AB 和 AD 上的點, 使得 AD ＝ BD, AC ＝ BC, DE ＝ 1,

∠DEC ＝ 90°, 且 ∠ADB ＝ 120°. 求 AE 的長度.

Sol:

設 AD ＝ BD ＝ x

因此 ∠DAB ＝ ∠DBA ＝ 1/2 * ( 180° － ∠ADB ) ＝ 30°

AE ＝ AD － DE ＝ x － 1

C 為 AB 中點, 連接 DC, 則 DC 為 △ABD 之角平分線

∠CDA ＝ 1/2 * ∠BDA ＝ 60°

∠ACE ＝ 180° － ∠DAB － ∠CEA ＝ 60°

DC ＝ 1/2 * AD ＝ x/2

重新整理一下

∠CDA ＝ ∠ACE = 60°, ∠DEC ＝ ∠DCA ＝ 90°, ∠A ＝ 30° 為共角

因此, △ACD 和 △CED 為相似三角形

DE : DC ＝ DC : DA

1 : x/2 ＝ x/2 : x

x²/4 ＝ x

x ( x － 4 ) ＝ 0

x ＝ 4 or x ＝ 0 ( rejected )

AE ＝ x － 1

＝ 4 － 1

＝ 3

Ans: AE ＝ 3