中3數學!點解

問題一:點解 3^-2 = 1/3^2
假設已知(a^b)(a^c)=a^(b+c)
證3^-2 = 1/3^2:
右=1/3^2
=3^-2/(3^2)(3^-2)
=3^-2/1
=3^-2=左
所以等式成立

問題二:點解1+1又=2
數字最初係用作計算數量
例如計有幾多隻羊,會係樹上便刻上相等既數量
為左方便計算有人將一d符號下定義形成數字
1代表有一隻(原本係樹上刻一次),2代表有二隻(原本係樹上刻兩次)
1+1代表有兩次既一隻亦相等於兩隻2

答左你第2條先..1+1=2唔係你而家要學架不要小看這個公式，1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，它們和集合的分別在此不贅），故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：

0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}
〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕

現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：

0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}

[Λ為空集]
一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。

在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。

〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕

跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。

定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：
(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。

映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。

現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下：
1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)
最"經典"的証明:
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
　γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。]

2008-01-12 20:11:49 補充：
另外第一條樓上已經比左tips你..By(a^b)(a^c)=a^(b c)Prove that 3^-2 = 1/3^2:R.H.S.=1/3^2 =3^-2/(3^2)(3^-2) =3^-2/1 =3^-2 =L.H.S.你可以自己睇番

2008-01-12 20:12:36 補充：
1 1=2係中四既數學歸納法有教...