困難的ａｄｄ　ｍａｔｈ～

要明白這個概念
你要先明白 quadratic graph

其實任何一條 quadratic expression 都可以用 graph 去表示
例如你寫的這條
就可以 plot 出 y = x^2-mx+(m+3) 的 graph

我們還可以利用 graph 來 solve quadratic equation
又例如如果 plot 了 y = x^2-mx+(m+3)
我們可以 solve x^2-mx+(m+3) = 0 (個 root 係同 x-axis 既相交點)
x^2-mx+(m+3) = 1 (個 root 係當 y = 1 時 x 的 value)
又或者 x^2-mx+(m+3) = 100 等等 (個 root 係當 y = 100 時 x 的 value)

請看看以下這幅圖
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Quadratic_equation_discriminant.png
三條線代表了三個不同的情況
分別係判別式大過, 等於, 和小於 0
你可以見到
如果判別式大過 0, graph 同 x-axis 係有兩個交點, 亦即係兩個 distinct real roots
如果判別式等於 0, graph 同 x-axis 只有一個交點, 即是 equal real root
如果判別式小於 0, graph 同 x-axis 沒有交點, 即是 no real root

回應你的題目
the expression x^2-mx+(m+3)is always positive for all real values of x
如果 plot 出 x^2-mx+(m+3) = y
這個情況就正如上圖的黃線一樣
(因為 x^2-mx+(m+3) is always positive,
所以 y is always positive) (因為 x^2-mx+(m+3) = y)
你可看到
無論 x 的 value 是甚麼
整條黃線都在 x-axis 之上
(在 x-axis 之上的話, value of y is positive)

簡單點來說
如果 the expression x^2-mx+(m+3)is always positive for all real values of x
即是說這是一條完完全全和 x-axis 沒有交點的線
所以沒有 real root
所以判別式小於 0

It is because the equation is always positive. So that the equation will not intersact with the x-axis so that you should prove that a>0 D<0
a=1>0
D=b^2-4ac
=m^2-4(1)(m+3)<0
so that m^2-4m-12<0
(m-6)(m+2)<0
so that -2<6

Discriminant=m^2-4(m+3) < 0
m^2-4m-12 < 0
(m-6)(m+2) < 0
-2 < m < 6

x^2-mx+(m+3)
=x^2-mx+(m/2)^2 -(m/2)^2 +(m+3)
=(x-m/2)^2+(m+3)-(m/2)^2
所以若 x^2-mx+(m+3)　＞０　for all real values of x
就暗示到：(m+3)-(m/2)^2 ＞０
＝＞m^2 -4m -12 ＜０
＝＞(m-6)(m+4)＜０
therefore (m-6)＜０and (m+4)＞０　or （m-6)＞０ and (m+4)＜０
＝＞m＜6 and m＞０　　or m＞６and m＜０
therefore the range of real values of m is ０＜ｍ＜６