Statistic - Probability

P(A and B) 唔一定等如 P(A) 乘 P(B)

首先，要了解 A 和 B 之間有沒有關連，若果沒有關連，就可以話
P(A and B) 等如 P(A) 乘 P(B)
例：擲 2 次骰仔，兩次都係 4，咁樣先至等如 1/6 乘 1/6

若 A 和 B 是有關連，就唔一定可以寫
P(A and B) 等如 P(A) 乘 P(B)
例：全班 10 人，數學 5 人合格，物理 8 人合格
咁樣， P(數學合格 和 物理合格) 就唔一定等如 0.5 x 0.8
要再多些資料才能計算

其實，你既推論 P(A given B) = P(A)
都可以話正確，但先決條件係 A 和 B 沒有關連
例：擲 2 次骰仔，咁樣，無論 given 第二次係咩都好，第一次係 4 既機率都係 1/6

P(A and B) = P(A) X P(B) 只適用在 A 和 B 是獨立事件，沒有先後因果影響的情況。
例如在擲兩顆骰子時，兩顆骰子不會互相影響，所以擲到兩個雙數的 probability
= P(even no. and even no.) = P(even no.) X P(even no.) = (1/2) X (1/2) = 1/4

而 P(A given B) = P(A and B) / P(B) 中的 P(A and B) 是代表「B 發生了，A 亦隨之而發生了」的機會率，B 發生與否是會影響 A 的。
例如：
有兩條隧道 (tunnel)：X 和 Y
有三條公路 (road)：A、B 和 C
隧道 X 只和公路 A 連接，隧道 Y 只和公路 B 和 C 連接
汽車會先經過隧道，然後走到公路上
汽車經過隧道 X 的機會率是 1/3，汽車走在公路 B 的機會率是 1/5。

那麼，若汽車選擇了隧道 Y，汽車再選擇公路 C 的機會率
= P(Road C given Tunnel Y)
= 1 - P(Road B given Tunnel Y)
= 1 - P(Road B and Tunnel Y) / P(Tunnel Y)
= 1 - P(Road B and Tunnel Y) / [1 - P(Tunnel X)]
= 1 - (1/5)/(1 - 1/3)
= 13/15
另外，若汽車選擇了隧道 X，汽車再選擇公路 B 的機會率（當然這是沒有可能的）
= P(Road B given Tunnel X)
= P(Road B and Tunnel X) / P(Tunnel X)
= 0/(1/3)
= 0