求拋物線3y平方-6y+x=0的頂點坐標,焦點坐標,准線方程,焦點到准線的距離.

3y平方-6y+x=0
即 x = -3y(y-2)

由於對稱, 頂點的 y 座標 = (0 + 2) / 2 = 1,
x 座標 = -3(1)(1-2) = 3
故頂點為 (3,1)

設焦點為 (a,1) 則 准線為 x = 6 - a (焦點 與 准線 的中點為 頂點 )

.對任意實數 t, P(-3t^2 + 6t, t) 為這拋物線上的一點 (t^2 即 t平方)

P 與 焦點 間的距離
= 開方 [ (-3t^2 + 6t - a)^2 + (t - 1)^2 ]

P 與 准線 間的距離
= 絕對值 [-3t^2 + 6t - (6 - a)]

找出 a 使以上兩式恆等
平方兩式, 比較獨立於 t 的項:
a^2 + 1 = a^2 - 12a + 36
a = 35 / 12

所以, 焦點為 (35/12, 1)
准線方程: x = 37 / 12
焦點到准線的距離 = (37 / 12) - (35 / 12) = 1 / 6

(其實任意選一在拋物線上的定點 P 也可 求出 a 的值, 如 (0,0) )