〔數學(少少送分)一問〕咩係三角函數？

三角學開創之初，希臘人思考的是定圓各中心角所對應的弦長﹝全弦﹞。如托勒密﹝約85-165﹞把圓周﹝角﹞分成360份，把直徑分為120份，然後對於圓心角∠COB求對應弦的長﹝直徑的1/120為弦的度量單位﹞。而印度人則不同，他們研究一個角的倍角所對弦的一半，即∠AOB對應的半弦長BD。例如，印度為我們知道的最早的數學家阿利耶毗陀﹝476-550﹞，他把圓周分成360×60=21600﹝份﹞，然後根據公式C﹝周長﹞=2πr，π3.141，求得圓半徑的近似值3438﹝份﹞，再求出各圓周角所對的半弦的長﹝以半徑的1/3438為度量單﹞，這與現今的正弦﹝sine﹞概念接近了一步，且已有弧度制思想的雛形。當時阿利耶毗陀稱此半弦為「jlva」，意即「弓弦」，這個詞阿拉伯人音譯為「dschiba」，後經多次轉抄，誤作「dschiab」，意思是胸膛，海灣或凹處，已與原意有出入。至12世紀，意大利人T‧柏拉圖又將此字譯成拉丁文sinus﹝胸當﹞，此即今日正弦一詞的來由。
1631年鄧玉涵﹝1576-1630﹞湯若望﹝1591-1666﹞與徐光啟﹝1562-1633﹞編譯的《大測》一書，將sinus譯成正半弦或前半弦，簡稱正弦，此即我國正弦一詞的來源。正弦、餘弦﹝cosine﹞函數的現代定義起源於歐拉。

正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、 正割函數、餘割函數統稱為三角函數（Trigonometric function）。

　　儘管三角知識起源於遠古，但是用線段的比來 定義三角函數，是歐拉（1707-1783）在著名的《無窮小分析引論》一書中首次給出的。在歐拉之前 ，研究三角函數大都在一個確定半徑的圓內進行的。如古希臘的托勒密（85-165）定半徑為60；印度 人阿利耶毗陀（約476-550）定半徑為3438；德國數學家里基奧蒙特納斯（1436-1476）為了精密地 計算三角函數值曾定半徑為600,000；後來為製訂更精密的正弦表又定半徑為107。因此，當時的三角函數實際上是定圓內的一些線段（如 弦）的長。

　　意大利數學家利提克斯（1514-1526）改變了 前人的做法，即過去一般稱AB為 的正弦，把正弦與圓牢牢地連結在一起（如圖）， 而利提克斯卻把它稱為∠AOB的正弦，從而使正弦值直接與角掛勾，而使圓O成為從屬地位了。

　到歐拉時，才令圓的半徑為1，即置角於單位 圓之中，從而使三角函數定義為相應的線段與圓半徑之比。

在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學知識，主要用於測量。例如建築金字塔、整理尼羅河泛濫後的耕地、通商航海和觀測天象等。公元前600年左右古希臘學者泰勒斯遊埃及，利用相似三角形的原理測出金字塔的高，成為西方三角測量的肇始。據中國古算書《周髀算經》記載，約與泰勒斯同時代的陳子已利用勾股定理測量太陽的高度，其方法後來稱為「重差術」。公元前2世紀後希臘天文學家希帕霍斯為了天文觀測的需要，作了一個和現在三角函數表相仿的「弦表」，即在固定的圓內，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學的最早奠基者。公元2世紀，希臘天文學家數學家托勒密繼承希帕霍斯的成就，加以整理發揮，著成《天文學大成》13卷，包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價於三角函數性質的關係式，被認為是西方第一本系統論述三角學理論的著作。約同時代的門納勞斯寫了一本專門論述球三角學的著作《球面學》，內容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨特性質。他的工作使希臘三角學達到全盛時期。公元6世紀初，印度數學家阿耶波多製作了一個第一象限內間隔3°45'的正弦表，依照巴比倫人和希臘人的習慣，將圓周分為360度，每度為60分，其中用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念。他在計算正弦值的時候，取圓心角所對弧的半弦長，比起希臘人取全弦長更近於現代正弦概念。印度人還用到正矢和餘弦，並給出一些三角函數的近似分數式。

三角學開創之初，希臘人思考的是定圓各中心角所對應的弦長﹝全弦﹞。如托勒密﹝約85-165﹞把圓周﹝角﹞分成360份，把直徑分為120份，然後對於圓心角∠COB求對應弦的長﹝直徑的1/120為弦的度量單位﹞。而印度人則不同，他們研究一個角的倍角所對弦的一半，即∠AOB對應的半弦長BD。例如，印度為我們知道的最早的數學家阿利耶毗陀﹝476-550﹞，他把圓周分成360×60=21600﹝份﹞，然後根據公式C﹝周長﹞=2πr，π3.141，求得圓半徑的近似值3438﹝份﹞，再求出各圓周角所對的半弦的長﹝以半徑的1/3438為度量單﹞，這與現今的正弦﹝sine﹞概念接近了一步，且已有弧度制思想的雛形。當時阿利耶毗陀稱此半弦為「jlva」，意即「弓弦」，這個詞阿拉伯人音譯為「dschiba」，後經多次轉抄，誤作「dschiab」，意思是胸膛，海灣或凹處，已與原意有出入。至12世紀，意大利人T‧柏拉圖又將此字譯成拉丁文sinus﹝胸當﹞，此即今日正弦一詞的來由。
1631年鄧玉涵﹝1576-1630﹞湯若望﹝1591-1666﹞與徐光啟﹝1562-1633﹞編譯的《大測》一書，將sinus譯成正半弦或前半弦，簡稱正弦，此即我國正弦一詞的來源。正弦、餘弦﹝cosine﹞函數的現代定義起源於歐拉。

正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、 正割函數、餘割函數統稱為三角函數（Trigonometric function）。

　　儘管三角知識起源於遠古，但是用線段的比來 定義三角函數，是歐拉（1707-1783）在著名的《無窮小分析引論》一書中首次給出的。在歐拉之前 ，研究三角函數大都在一個確定半徑的圓內進行的。如古希臘的托勒密（85-165）定半徑為60；印度 人阿利耶毗陀（約476-550）定半徑為3438；德國數學家里基奧蒙特納斯（1436-1476）為了精密地 計算三角函數值曾定半徑為600,000；後來為製訂更精密的正弦表又定半徑為107。因此，當時的三角函數實際上是定圓內的一些線段（如 弦）的長。

　　意大利數學家利提克斯（1514-1526）改變了 前人的做法，即過去一般稱AB為 的正弦，把正弦與圓牢牢地連結在一起（如圖）， 而利提克斯卻把它稱為∠AOB的正弦，從而使正弦值直接與角掛勾，而使圓O成為從屬地位了。

　到歐拉時，才令圓的半徑為1，即置角於單位 圓之中，從而使三角函數定義為相應的線段與圓半徑之比。