求由整數角形成的三角形有多少種變化?

設該三角形的該三隻內角x°，y°和z°可以表示成(x , y , z)，其中x，y和z都是正整數，並且x + y + z = 180。

不想好像樓上果位人兄數數下有重覆的情況發生，就要限制x , y , z的數值只能向遞升次序排列，即是x ≦ y ≦ z。

當z = 178，三個角表示成
(1 , 1 , 178)
組合數目是1

當z = 177，三個角表示成
(1 , 2 , 177)
組合數目是1（(2 , 1 , 177)是不能計算在內的，因為已經不符合前設。）

當z = 176，三個角表示成
(1 , 3 , 176)
(2 , 2 , 176)
組合數目是2

當z = 175，三個角表示成
(1 , 4 , 175)
(2 , 3 , 175)
組合數目是2

當z = 174，三個角表示成
(1 , 5 , 174)
(2 , 4 , 174)
(3 , 3 , 174)
組合數目是3

當z = 173，三個角表示成
(1 , 6 , 173)
(2 , 5 , 173)
(3 , 4 , 173)
組合數目是3

：
：
：

當z = 92，三個角表示成
(1 , 87 , 92)
(2 , 86 , 92)
(3 , 85 , 92)
：
：
：
(44 , 44 , 92)
組合數目是44

當z = 91，三個角表示成
(1 , 88 , 91)
(2 , 87 , 91)
(3 , 86 , 91)
：
：
：
(44 , 45 , 91)
組合數目是44

當z = 90，三個角表示成
(1 , 89 , 90)
(2 , 88 , 90)
(3 , 87 , 90)
：
：
：
(45 , 45 , 90)
組合數目是45

接著就要留心啦！

當z = 89，三個角表示成
(2 , 89 , 89)
(3 , 88 , 89)
(4 , 87 , 89)
：
：
：
(45 , 46 , 89)
組合數目是44

(1 , 90 , 89)去咗邊度呀？
沒錯，(1 , 90 , 89)都算是其中一種組合，可是90 > 89，那麼寫埋落去就會「犯規」了。

當z = 88，三個角表示成
(4 , 88 , 88)
(5 , 87 , 88)
(6 , 86 , 88)
：
：
：
(46 , 46 , 88)
組合數目是43

當z = 87，三個角表示成
(6 , 87 , 87)
(7 , 86 , 87)
(8 , 85 , 87)
：
：
：
(46 , 47 , 87)
組合數目是41

當z = 86，三個角表示成
(8 , 86 , 86)
(9 , 85 , 86)
(10 , 84 , 86)
：
：
：
(47 , 47 , 86)
組合數目是40

當z = 85，三個角表示成
(10 , 85 , 85)
(11 , 84 , 85)
(12 , 83 , 85)
：
：
：
(47 , 48 , 85)
組合數目是38

當z = 84，三個角表示成
(12 , 84 , 84)
(13 , 83 , 84)
(14 , 82 , 84)
：
：
：
(48 , 48 , 84)
組合數目是37

：
：
：

當z = 63，三個角表示成
(54 , 63 , 63)
(55 , 62 , 63)
(56 , 61 , 63)
(57 , 60 , 63)
(58 , 59 , 63)
組合數目是5

當z = 62，三個角表示成
(56 , 62 , 62)
(57 , 61 , 62)
(58 , 60 , 62)
(59 , 59 , 62)
組合數目是4

當z = 61，三個角表示成
(58 , 61 , 61)
(59 , 60 , 61)
組合數目是2

當z = 60，三個角表示成
(60 , 60 , 60)
組合數目是1

數完！
因為當z = 59，三個角會表示成
(60 , 61 , 59)，這樣已經「犯規」！
跟著打落的z值的情況，一寫去嚟都會全部「犯規」！

「埋單計數」：

總組合數目 = (1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + …… + 44 + 44) + 45 + (44 + 43 + 41 + 40 + 38 + 37 + …… + 5 + 4 + 2 + 1)
= (1 + 2 + 3 + …… + 44) × 2 + (44 + 41 + 38 + …… + 5 + 2) + (43 + 40 + 37 + …… + 4 + 1) + 45
= [((1 + 44) × 44)/2] × 2 + ((44 + 2) × 15)/2 + ((43 + 1) × 15)/2 + 45
= 1980 + 345 + 330 + 45
= 2700

∴由整數角形成的三角形總共有2700種變化

若一個正整數是由兩個正整數組合而成，
則這個數最少是２。而總組合數目是
這個數減一。看看以下：
２　：（１，１），組合數目是２－１＝１
３　：（１，２）（２，１），組合數目是３－１＝２
４　：（１，３）（３，１），
.　　　（２，２），組合數目是４－１＝３
５　：（１，４），（４，１），
.　　　（２，３），（３，２），組合數目是５－１＝４
６　：（１，５），（５，１），
.　　　（２，４），（４，２），
.　　　（３，３），組合數目是６－１＝４
…………
ｎ　：（１，ｎ－１），（ｎ－１，１），
.　　　（２，ｎ－２），（ｎ－２，２），
.　　　（３，ｎ－３），（ｎ－３，３），
……
.　　　（ｎ－２，２），（２，ｎ－２），
.　　　（ｎ－１，１），（１，ｎ－１），組合數目是ｎ－１

若ｋ是上面的那個由兩個正整數組成的正整數，
則１８０－ｋ就是第三個數，而ｋ最少是２，
當ｋ＝２，三個角表示成
（１，１，１７８），組合數目是１
當ｋ＝３，三個角表示成
（１，２，１７７），（２，１，１７７），組合數目是２
當ｋ＝４，三個角表示成
（１，３，１７６），（３，１，１７６），
（２，２，１７６）組合數目是３
…………
當ｋ＝１７９，三個角表示成
（１，１７８，１），（１７８，１，１），
（２，１７７，１），（１７７，２，１），
（３，１７６，１），（１７６，３，１），
（４，１７５，１），（１７５，４，１），
（５，１７４，１），（１７４，５，１），
…………
（８９，９０，１），（９０，８９，１），
組合數目是１７８

所以將１加到１７８就是總數，
（１＋１７８）×１７８／２＝１５９３１

。

2007-11-29 19:04:41 補充：
對不起，是我的表達不清楚。應該是改為〖當ｋ＝４，三個角表示成（ｘ，ｙ，ｚ），以下是它的幾個組合〗解釋：角１＝ｘ角２＝ｙ角３＝ｚｋ＝４時，若第①種組合是（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，３，１７６）則ｘ＝１；　ｙ＝３；　ｚ＝１７６第②種組合是（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，１，１７６）則ｘ＝３；　ｙ＝１；　ｚ＝１７６第③種組合是（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，２，１７６）則ｘ＝２；　ｙ＝２；　ｚ＝１７６。