三角形數和正方形數的關係

一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一個等邊三角形，因此10是一個三角形數：
　　　　ｘ

ｘ　ｘ

ｘ　ｘ　ｘ

ｘ　ｘ　ｘ　ｘ




開始個18個三角形數是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……

第n個三角形數的公式是。
第n個三角形數是開始的n個自然數的和。
所有大於3的三角形數都不是質數。
開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方（舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102）
所有三角形數的倒數之和是2。
任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。
一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下這個公式來表示：n * (2n + 1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用n * (2n - 1)來表示。
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特殊的三角形數
36是唯一已知的是一個三角形數的平方數的三角形數。
55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617,716）、第111,111個三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111個三角形數（61,728,399,382,716）都是迴文式的三角形數，但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。
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和其他數的關係
四面體數是三角形數在立體的推廣。
兩個相繼的三角形數之和是平方數。
三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
三角形數屬於一種多邊形數。
所有偶完美數都是三角形數。
任何自然數是最多三個三角形數的和。高斯發現了這個規律。他在1796年7月10日在日記中寫道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ
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四面體數或三角錐體數是可以排成底為三角形的錐體（即四面體）的數。四面體數每層為三角形數，其公式是首n個三角形數之和，即n(n + 1)(n + 2) / 6。其首幾項為：1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120...（OEIS:A000292）

四面體數的奇偶排列是「奇偶偶偶」。

1878年，A.J. Meyl證明只有3個四面體數同時為平方數：1, 4, 19600。唯一同時是四面體數和正方錐數的數是1（Beukers (1988)）。

它們可以在楊輝三角每橫行從右到左或左到右的第4項找到。



五層高的錐體
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五邊形數是能排成正五邊形的多邊形數。第n個五邊形數可用公式n(3n - 1) / 2求得，且n > 0。首幾個五邊形數為1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117... (OEIS:A000326)其奇偶排列是「奇奇偶偶」。

第n個五邊形數是第3n - 1個三角形數的1 / 3。首n個五邊形數的算術平均數是第n個三角形數。

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六邊形數是能排成正六邊形的多邊形數。第n個六邊形數可用公式n(2n - 1)求得。其首十項為1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190（OEIS:A000384）。第n個六邊形數同時是第2n - 1個三角形數。

1830年勒讓德證明了：任何大於1791的整數都能表達成最多4個六邊形數之和。

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多邊形數是可以排成正多邊形的整數。古代數學家發現某些數目的豆子或珠子可以排成正多邊形。例如10可以排成三角形：


1是任何多邊形數的第一項。

第n個s邊形數的公式是

費馬多邊形數定理指出每個數最多是n個n邊形的和。

「矩形數」還能稱呼作「合成數」。

若我們把一個數轉化為一些黑點，

如６：

．．．　　　　．．
．．．　或　　．．
．．

你會發現６轉化為黑點後，黑點的數目能排列成一個長方形。但有一些數卻不能排列成矩形，

如７：

．．．．　　　　．．．　　　　．．
．．．　　或　　．．．　或　　．．．　等等排列
．　　　　　　．．

這些不能排列成矩形的數，稱為「質數」，即除了１和本身之外，再沒有其化因數。

在矩形數中，有一項分支，就是「正方形數」，

舉例１６：

．．．．
．．．．
．．．．
．．．．

你會看見它是一個４＊４的正方形，所以正方形數便是平方數。

順帶一提，正方形數是由兩個三角形數結合而成的，

如１６：

．．．　　　　　　　．　　　　　．．．．
．．　　　　　　　．．　　　　　．．．．
．　　　加　　　．．．　等於　　．．．．
．．．．　　　　　．．．．

１６是由（１＋２＋３）和（１＋２＋３＋４）組成的。

三角形數便是（１＋２＋３＋．．．．ｎ）了。

2007-12-06 22:19:29 補充：
Good!

三角形數:1.3.6.15.21.28.36......
正方形數:1.4.9.16.25.36.49......
由2的2次方開始
例如:4是第2個正方形數
.'.是第1個三角形數加第2個三角形數

例如:16是第4個正方形數
.'.是第3個三角形數加第4個三角形數

.'.第n個正方形數是第(n-1)個三角形數加第n個三角形數


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