為什麼定積分是總和的極限？

在實分析中, 由黎曼創立的黎曼積分首次對函數在給定區間上的積分給出了一個精確定義。黎曼積分在技術上的某些不足之處可由後來的黎曼－斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分得到修補。





目錄[隱藏]

1 概念
2 定義

2.1 區間的分割
2.2 黎曼和
2.3 黎曼積分
3 參考文獻



[編輯] 概念


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/180px-Integral_as_region_under_curve.svg.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
作為曲線與坐標軸所夾面積的黎曼積分
對於一在區間[a,b]上之給定非負函數f(x)，我們想要確定f(x)所代表的曲線與X坐標軸所夾圖形的面積，我們可以將此記為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/5/d/b5deb829e994dfb49a5b358a983bc072.png

黎曼積分的核心思想就是試圖通過無限逼近來確定這個積分值。同時請注意，如f(x)取負值，則相應的面積值S亦取負值。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Riemann.gif/180px-Riemann.gif



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一列黎曼和。右上角的數字表示分割的矩形數。這列黎曼和趨於一個定值，記為此函數的黎曼積分。

[編輯] 定義

[編輯] 區間的分割
一個閉區間[a,b]的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/9/c/b9c2e906c034aac5ee566167b365ae7e.png
。
再定義取樣分割。一個閉區間[a,b]的一個取樣分割是指在進行分割
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/5/b/b5bdd4498300db5d5a89937426defaba.png
。λ的定義同上。
精細化分割：設
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/6/c/46ce1561759675e92312b4ffe3aa534e.png
的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。

[編輯] 黎曼和
對一個在閉區間[a,b]有定義的實值函數f，f關於取樣分割
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/6/c/46ce1561759675e92312b4ffe3aa534e.png
的黎曼和定義為以下和式：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/a/0/3a07ef6859176a83c8c1ed566fd942fd.png
}-
和式中的每一項是子區間長度xi + 1 − xi與在ti處的函數值f(ti)的乘積。直觀地說，就是以標記點ti到X軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。

[編輯] 黎曼積分
不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越「精細」的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對「越來越『精細』」作出嚴格的定義。
要使得「越來越『精細』」有效，需要把λ趨於0。如此[xi,xi + 1]中的函數值才會與f(ti)接近，矩形面積的和與「曲線下方」的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。
嚴格定義如下：S是函數f在閉區間[a,b]上的黎曼積分，若且唯若對於任意的ε > 0，都存在δ > 0，使得對於任意的取樣分割
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，就有：


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}-
也就是說，對於一個函數f，如果在閉區間[a,b]上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函數f的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼f在閉區間[a,b]上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限，這時候稱函數f為黎曼可積的。
這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢驗所有
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/6/5/d653b937f6dfeb6423d8e30b914c6ff8.png
的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。
另一個定義: S是函數f在閉區間[a,b]上的黎曼積分，若且唯若對於任意的ε > 0，都存在一個取樣分割
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，都有：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/a/3/1a3851681b995a26ce22b416f2c1aee6.png
}-
這兩個定義是等價的。如果有一個S滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個S滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/6/5/d653b937f6dfeb6423d8e30b914c6ff8.png
的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於δ，於是滿足


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/a/3/1a3851681b995a26ce22b416f2c1aee6.png
}-
其次，如果有一個S滿足第二個定義，首先引進達布積分的概念。首先第二個定義和達布積分的定義是等價的，具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/b/3/4b3c127fad4cbedbf78cc709db21a948.png
，所以和S至多相差ε。