✔ 最佳答案
你的題目應該是打錯了J(1) = 0應該是J(0)=1
假設y是x的多項式,也就是y=Σ(n=0,∞)An*x^n
y'=Σn*An*x^(n-1)
y''=Σn*(n-1)*An*x^(n-2)
xy''+y'+xy =Σ {n*(n-1)*An*x^(n-1)+n*An*x^(n-1)+An*x^(n+1)}
=Σ{[(n+2)*(n+1)*A(n+2)+(n+2)*A(n+2)+An]*x(n+1)}+A1=0
上式最後一步是將所有x的指數項統一所以第1及第2項的n用n+2代替,但是這樣會使得第二項少算n=1的項,故在最後加回來
如此每一項係數必須為0,也就是
A1=0
(n+2)*(n+1)*A(n+2)+ (n+ 2)*A(n+2)+An=0
(n+2)^2*A(n+2)=-An
A2=-A0/4
A3=0
A4=-A2/16=A0/64
:
:
A(2n-1)=0
A(2n)=(-1/4)^n*A0/(n!)^2
因為J(0)=1
所以A0=1
A2=-1/4
J'(0)=A1=0
J''(0)=2A2=-1/2
另外有比較快的方法
(a) J'(0)=y'(0)=-x(y''+y)|(x=0)=0
(b)利用公式
若f(a)=0且g(a)=0,則lim(x->a) f(x)/g(x)=f'(a)/g'(a)
如此當x不為0時xy''+y'+xy = 0可以改寫成y''+y'/x+y=0
lim(x->0)(y''+y'/x+y)=y''(0)+y''(0)+y(0)=0
J''(0)=-J(0)/2=-1/2