數學中的平均偏差是指甚麼?

標準差，在機率統計中最常使用做為統計分佈程度（statistical dispersion）上的測量。標準差定義為方差的平方根，反映組內個體間的離散程度。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質： (1) 為非負數值， (2) 與測量資料具有相同單位。
一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。
標準差的觀念是由卡爾．皮爾遜 ( Karl Pearson ) 引入到統計中。
闡述及應用
簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。
例如，兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標準差。
標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。
標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越細，代表回報較為穩定，風險亦較小。

[編輯] 標準差的定義及簡易計算公式
假設有一組數值 x1, ..., xN （皆為實數），其平均值為：


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此組數值的標準差為：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/3/3/6336e4c48fd253b7a6f552fa2579525b.png
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一個較快求解的方式為：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/a/1/5a1a0fe89387c199abbb867e822b3b03.png
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一隨機變量 X 的標準差定義為：


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須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量 X 為 x1,...,xN 具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。
從一大組數值當中取出一樣本數值組合 x1,...,xn ，常定義其樣本標準差：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/1/6/81606631ecb561a0327e1d2b941de165.png


[編輯] 範例
這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為 { 5, 6, 8, 9 } ：
第一步，計算平均值
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n = 4 （因為集合裏有 4 個數），分別設為：


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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/b/d/1bd3badf92a8d97d7c1319cf6d2abfe8.png


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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/8/1/08124a35d2db3b99d8067d4a57e7a589.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/a/9/4a901235e061aed935113be8f13e4d1a.png
用 4 取代 N


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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/3/f/23fdb92044dffa77bf345a9bab999d77.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/1/e/81efa3de3ee3ef151fd421eda6677939.png
此為平均值。
第二步，計算標準差
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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/8/0/a800529071dd397299cf583ab5b590d1.png
用 4 取代 N


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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/b/3/1b3ee6d89f69664070242d56103f30b0.png



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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/0/7/907fc8d9258827ba8992d8caa53fb58e.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/2/c/02ccea17107ceeadfac643e741307f77.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/8/5/98555d3fa693dca015d6ba244610814a.png



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此為標準差。

[編輯] 常態分佈的規則


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Standard_deviation_diagram.svg/350px-Standard_deviation_diagram.svg.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍。在常態分佈中，此範圍所佔比率為全部數值之 68% 。 根據常態分佈，兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來為 95% 。根據常態分佈，三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為 99% 。
在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約 68% 數值分佈在距離平均值有 1 個標準差之內的範圍，約 95% 數值分佈在距離平均值有 2 個標準差之內的範圍，以及約 99.7% 數值分佈在距離平均值有 3 個標準差之內的範圍。稱為 "68-95-99.7 rule"。

[編輯] 標準差與平均值之間的關係
一組數據的平均值及標準差常常同時做為參考的依據。在直覺上，如果數值的中心以平均值來考量，則標準差為統計分佈之一"自然"的測量。較確切的敘述為：假設 x1, ..., xn 為實數，定義其公式


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/a/9/0a9d2ccc8ca416f60da0be0b880658b3.png

使用微積分，不難算出 σ(r) 在下面情況下具有唯一最小值：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/6/7/a672797ec51f1cbc49ece2e395438a52.png


[編輯] 幾何學解釋
從幾何學的角度出發，標準差可以理解為一個從 N 維空間的一個點到一條直線的距離的函數。舉一個簡單的例子，一組數據中有3個值，x1, x2, x3。它們可以在3維空間中確定一個點 P = (x1, x2, x3)。想象一條通過原點的直線 L = {(r, r, r) : r ∈ R}。如果這組數據中的3個值都相等，則點 P 就是直線 L 上的一個點，P 到 L 的距離為0, 所以標準差也為0。若這3個值不都相等，過點 P 作垂線 PR 垂直於 L，PR 交 L 於點 R，則 R 的坐標為這3個值的平均數：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/2/e/a2edd10ea0f268c0784aad7e6c275182.png

運用一些代數知識，不難發現點 P 與點 R 之間的距離(也就是點 P 到直線 L 的距離)是σ√3。在 N 維空間中，這個規律同樣適用，把3換成 N 就可以了。

平均偏差就是標準差, 所謂標準差就是樣本(sample)內每一個數據(data)對樣本的平均值(sample mean)的平均偏差(sample standard deviation),就算是對總體(population)都可以這樣理解
以上總體的平均值是(2+4+5+8+9)/5=5.6
∴平均偏差(標準差)=√{[Σ(x-μ)^2]/n}=√6.64=2.6(2 sig. fig. )

2007-11-25 11:32:21 補充：
這裡的x是數據, μ是總體平均值, n是數據的大小