我要請問高中數學...正方體歪斜線的距離

圖片參考：http://w11.loxa.com.tw/tsl3/math/m202.jpg

⊿EFG與⊿都是正三角形
EF＝FG＝AE＝3
EF＝√(32+32)=3√2
AG=√[(3√2)2+32]
=√(18+9)
=3√3

2007-11-21 20:06:56 補充：
訂正：打得太快了
⊿EFG與⊿都是直角三角形

2007-11-21 20:25:42 補充：
只要等級達實習生以上就可以貼圖。

我將使用 向量,向量的外積,與行列式的觀念來解
我將使用單位長度的立方體(亦即邊長=1的立方體)作講解。
假設邊AB沿著x-坐標軸,邊AD沿著y-坐標軸,邊AE沿著z-坐標軸
則向量AG和向量EH為

AG = (1,1,1)
其單位向量 Uag= (1/√3)(1,1,1)

EH = (0,1,0)

則同時與向量AG和向量EH垂直的向量為這兩向量的外積
若向量AG和向量EH分別為

AG = (a,b,c)
AG = (u,v,w)

則這兩向量的外積為
AG x EH = (bw-cv,cu-aw,av-bu)

所以
AG x EH = (-1,0,1)
其單位向量 Uageh= (1/√2)(-1,0,1)

找到了這個同時與向量AG和向量EH垂直的單位向量 Uageh
我們可用歪斜線的距離觀念來建構一個向量方程式求解
假設這個同時與AG和EH垂直的線,相交AG於L點,
相交EH於M點, 則向量AM可經由兩條途徑到達。
第一條先循向量AL轉共垂線方向Uageh而抵達M點;
第二條先循邊AE轉邊EH而抵達M點。
所以向量AM的兩個表示式應該相等的

假設第一條先循向量AL走了長度a;
再循共垂線方向走了長度d, 則這個向量的表示式為

a*(1/√3)*(1,1,1)+d*(√2)*(-1,0,1) (式-1)

假設第二條先循邊AE走了全邊長度(亦即邊長=1);
再轉循邊EH方向走了長度b, 則這個向量的表示式為

(0,0,1)+b*(0,1,0) (式-2)

因為 (式-1) = (式-2)
由於向量等式中的各個分量必須相等, 我們可導出得到:

a*(1/√3)- d*(√2)=0 (式-3-1)
a*(1/√3)-b=0 (式-3-2)
a*(1/√3)+ d*(√2)=1 (式-3-3)

這是三元一次代數方程組,用行列式或直接計算,
可得到解,我不詳述。

(式-3-3)- (式-3-1) 可得到解

d=√2/2

你的例子需要再乘邊長 3 而得解為

3√2/2

2007-11-23 22:23:55 補充：
求的是兩條歪斜線的距離
不是對角線AG的長度

2007-11-23 22:28:50 補充：
題目是要求的是兩條歪斜線AG與EH之間的距離
不是對角線AG的長度

2007-12-02 22:02:35 補充：
答非所問
題目要求的是兩條歪斜線AG與EH之間的距離
不是對角線AG的長度
最佳解答不是問題要的

給問者:
我都無法回你的信. 這樣你 mail 給我根本失去意義.

你的問題已有人給詳細回答了, 所以本來要回你的信其實
已不重要了. 不過因有複製起來 (怕不小心打好久的內容
突然就不見了 --- 在 web 常發生這樣的事, bbs 就比較不會.)
就順便貼一下...不過, 沒畫圖比不上圖示清楚!

是的, 那些 bbs 的操作界面相當類似; 但因各站系統站長都
會根據自己的偏好及使用者的意見修改程式, 因此不同站
還是會有些差別. 關於 bbs 的使用,
http://mars.cksh.tp.edu.tw/teach/ 是成功高中提供的說明;
http://www.cna.ccu.edu.tw/doc/BBS.pdf 是政大的學生提供的吧?
當然這些文件頂多是入門. 當你成功註冊並經認證通過取
得權限後, 可常利用 h 鍵看線上說明文件, 以取得該站最新
操作指引.

關於所問立方體問題, 由於8個頂點是以甚麼順序 (相對位置)
配置並不清楚, 因此不大清楚你問的. 不過, 立方體是六面體,
六個面, 每面4條邊線. 在同一面的對角線可以畢氏定理計算之.
而每一頂點連接3個相互垂直的軸. 其中兩個軸決定的平面與
第3軸平行. 因此, 整個立方體對角線與一個面的對角線分別又
是一個直角三角形的斜邊和一股. 以正立方體而言, 邊長 a, 則
一面之對角線長 √(a^2+a^2) = a√2, 而立體對角線長為
√[(2a^2)+a^2] = a√3. 以長方體而言, 邊長 a, b, c. 則邊長 a, b
的一面與長 c 的一邊垂直. 該面上之對角線長 √(a^2+b^2),
與長為 c 的一邊構成一直角三角形的兩股, 而其斜邊就是長
方體的對角線. 因此對角線長 √[(a^2+b^2)+c^2] = √(a^2 +b^2+c^2).

2007-11-21 21:32:26 補充：
ps. 這是我今天能回答的最後一發了! 而 "意見" 也用完了!
所以你要再問我, 我完全沒有管道 (mail,回答, 意見皆不通)
回應了!

簡單說起來可以用比較方便的畢氏定理
就是根號裡面要3個3的平方加起來
一般畢氏定理是根號裡面只有兩個數的平方和而已
不過算這種圖要跟號裡面放長的平方加寬的平方加高的平方
答案是√27 ＝3√3

2007-11-21 20:01:22 補充：
要說原因的話可以用畢氏定理(同商高定理或勾股定理)推出來
先用線段AB與線段BC求出平面的對角線
再把這條對角線和高當作另一個直角三角形來算