點樣solve 一元三次方程呀?(20分!!)

三次方程是未知項次數為3的整式方程，一般形式為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/6/7/067f8951d4fbd4d8401eee7a3a26f135.png
,
其中a, b,c和d (
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/f/4/df44347863ac17dc898a13f44f681d01.png
)是屬於一個域的數字，通常這個域為R或C。

三次方程解法

卡爾丹諾的方法
令K為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根r，然後把方程
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/9/b/09bc1131a281bb62e645ac010ed51c67.png
除以x − r，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。
在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。
解方程步驟：

把原來方程除以首項係數a (
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/f/4/df44347863ac17dc898a13f44f681d01.png
)，得到：




圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/d/b/edba1d0732f9c34923658c6b94d199d6.png
。

代換未知項
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/7/7/277b2d1a9e75598ed1dd24a77f334ea0.png
。故得:




圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/b/5/eb5067c1df2180e71bf154ef1000a047.png
，其中p和q是域中的數字。

來一妙著：記
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/5/5/e55d94c198dbf390b22c776448e2c22d.png
。



展開：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/a/c/0ac81364bad4183a48f80f707ce682b1.png
。
重組：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/b/1/ab1ec218861f3b22cab5e326cbc80245.png
。
分解：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/f/d/8fdf44e1c11b71e3b486803e10e357b5.png
。
因為多了一個未知項（
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/7/6/77698ae92ac0435f8da1e266eeb528e3.png
），所以可加入一個條件，就是：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/8/6/6865b500a90b0baf0c3c33c55741d8d6.png
。

設
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/2/8/0281603a15f0735e68981af227bde9c5.png
的根，這方程我們已會解出。
接下來，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/7/b/87b8bf04d95e5993d17cca40efc9ea5c.png
。
在域
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/f/e/bfeb545600e3abbc7b84353936b388f1.png
是單位的立方根。
因為乘積
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/1/7/617acff074253977d7c5bad1f6f4ded3.png
。

判別式
最先嘗試解的三次方程是實係數（而且還是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根數目不一定是3。所遺漏的根都在
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/3/f/c3f97a4420c67227501e8aa037c1c616.png
的計算中取平方根時。取立方根沒有產生問題。
可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式Δ = p3 / 27 + q2 / 4,：

若Δ > 0，只有一個實根，其他兩個是共軛複根。
若Δ = 0，有一個實重根：一個三重根或一個二重根和一個單根，都是實根。
若Δ < 0，有三個實根。
注意到至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/9/8/a9854a9381d4808dfc1e2d223a8f7110.png
的極值是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號。由於多項式是連續函數，從介值定理知道它在某點的值為0。

第一個例子
解
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/5/f/a5fc3d8b6c5ab520e7acdc3f8fa46e31.png
。
我們依照上述步驟進行：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/b/5/db5ce266c35d74ab5e8c47cd26815a9c.png
（全式除以2）
設x = t + 1，故t = x − 1，代換：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/4/0/440ee25c24194059cbcb18d3634f060d.png
。
x = u + v，U = u3，V = v3。設U + V = − 1和UV = − 1。U和V是X2 + X − 1 = 0的根。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/a/c/0ac3bac855d0e2cd4036520c83be3227.png
，


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/4/e/e4e29e5b3434a1e6678b3e762eba817d.png
。
t = x − 1 = u + v − 1

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/2/1/c21dd2b133fd0660a95960c23af2d635.png

該方程的另外兩個根: t2 = -0.838907 + 1.75438i t3 = -0.838907 - 1.75438i

第二個例子
這是一個歷史上的例子，因為它是邦別尼考慮的方程。
方程是x3 − 15x − 4 = 0。
從函數
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/4/e/c4ec77426dfe2f3005b06e8f968f158c.png
算出判別式的值Δ = − 13068 < 0，知道這方程有三實根，所以比上例更容易找到一個根。
首兩步都不需要做。做第三步：x = u + v，U = u3，V = v3。



U + V = 4和UV = 125。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/3/f/c3f97a4420c67227501e8aa037c1c616.png
是X2 − 4X + 125 = 0的根。這方程的判別式已算出是負數，所以沒有實根。很弔詭地，這方法必須用到複數求出全是實數的根。這是發明複數的一個理由：複數是解方程必需工具，即使方程或許只有實根。
我們解出U = 2 − 11i和V = 2 + 11i。取複數立方根不同於實數，有兩種方法：幾何方法，用到輻角和模（把輻角除以3，取模的立方根）；代數方法，分開複數的實部和虛部： 現設u = a + bi。

u3 = 2 − 11i等價於：

a3 − 3ab2 = 2 （實部）
3a2b − b3 = − 11 （虛部）
a2 + b2 = 5 （模）
得到a = 2和b = − 1，也就是u = 2 − i，而v是其共軛：v = 2 + i。
歸結得x = u + v = (2 − i) + (2 + i) = 4，可以立時驗證出來。
其他根是
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/3/b/13bd37e6a72c6678e72f4dbc5ab78579.png
。
當Δ是負，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/f/c/bfc9057e9d5bd1fa1b5c29c6003cc28e.png
）； 所以我們可確保x是實數，還有x'和x''。

This under Amaths Remainder and Factor Theorm.
The A B C D are given in the question I suppose.
Step1, Trial and error.
Let this equation be f(x)=Ax^3 +Bx^2 +Cx+D
When x= ?, f(?)=0 &lt;---? can be any no. but most of the time is between -4&lt;4.
Hence, (x - ?) is a factor of the equation.
Step 2, find the other two factors by comparing coefficient.(Left side and right side)
Ax^3 +Bx^2 +Cx+D=(x-?)(ax^2+bx+c)
Comparing coefficient of x^3,
A(know no.)= a
a=A//
Comparing coefficient of x^2,
B=b+a?
b=B-a?//
Comparing constants,
D=c?
c=D/?
Therefore,Ax^3 +Bx^2 +Cx+D=0
(x-?)(ax^2+bx+c)=0 a b c d all known
factorise (ax^2+bx+c),
(x-?)(x-??)(x-???)=0

So, the answer is, The factors or solution for this equation is ?, ?? and ???

2007-11-24 20:00:17 補充：
Cal機For SHARP EL-509WMPress MODE.Press 2-------represents EQN.Press 3------represents CUBIC equation(x^3 equations)

2007-11-24 20:01:50 補充：
CorrectionWhen x= ?, f(?)=0 &lt;---? can be any no. but most of the time is between -4 and 4