有什麼公式可以解三次方程？

The three roots
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are given by






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http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=CubicFormula

其實上面果條式已經非常接近「真正的三次公式」，只不過該方程的前設是：x³的係數是1。

儘管如此，
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的通解（也就是「真正的三次公式」），都可以用番上面果條式搵番出嚟。

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因式法!!!!!!!!!

卡爾丹諾的方法
令K為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根r，然後把方程除以x − r，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。

在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。

解方程步驟：

把原來方程除以首項係數a ()，得到：
，其中，，。
代換未知項，以消去二次項。當展開，會得到這項，正好抵消掉出現於的項。故得:
，其中p和q是域中的數字。
來一妙著：記。前一方程化為。
展開：。
重組：。
分解：。
因為多了一個未知項（和代替了），所以可加入一個條件，就是：
，由此導出。
設和。我們有和因為。所以和是輔助方程的根，這方程我們已會解出。
接下來，和 是和的立方根，適合，，最後得出。

在域裡，若和 是立方根，其他的立方根就是和，當然還有和，其中是單位的立方根。

因為乘積固定，所以可能的是，和。因此三次方程的其他根是和。


[編輯] 判別式
最先嘗試解的三次方程是實係數（而且還是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根數目不一定是3。所遺漏的根都在裡，就是的代數閉包。其中差異出現於和的計算中取平方根時。取立方根沒有產生問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式Δ = p3 / 27 + q2 / 4,：

若Δ > 0，只有一個實根，其他兩個是共軛複根。
若Δ = 0，有一個實重根：一個三重根或一個二重根和一個單根，都是實根。
若Δ < 0，有三個實根。
注意到至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在和的極值是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號。由於多項式是連續函數，從介值定理知道它在某點的值為0。