a-maths~~~~~

2007-11-10 2:35 am

設A+B+C=180°C及a/sinA=b/sinB=c/sinC=k。
(a)証明
(i)a-b=k(sinA-sinB)。
(ii)cos[(A+B)/2]cot(C/2)=sin[(A+B)/2]。
(b)由此,証明
(i)(a-b)cotC/2=-k(cosA-cosB)。
(ii)(a-b)cot(C/2)+(b-c)cot(A/2)+(c-a)cot(B/2)=0。

回答 (1)

Gabriella Montez

2007-11-10 3:27 am

✔ 最佳答案

ai)L.H.S.=a-b
=ksinA-ksinB
=k(sinA-sinB)
=R.H.S.
ii)L.H.S.=cos[(A+B)/2]cot(C/2)
=cos[(180*-C)/2]cot(C/2)
=cos(90*-C/2)cot(C/2)
=sin(C/2)cot(C/2)
=cos(C/2)
R.H.S.=sin[(A+B)/2]
=sin[(180*-C)/2]
=sin[90*-(C/2)]
=cos(C/2)
=L.H.S.
bi)L.H.S.= (a-b)cot(C/2)
=k(sinA-sinB)sin[(A+B)/2]/cos[(A+B)/2] [由aii]
=k[-2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]sin[(A+B)/2]/cos[(A+B)/2]
=-k(2sin[(A-B)/2]sin[(A+B)/2])
=-k(cosB-cosA)
=k(cosA-cosB)
=R.H.S.
ii)L.H.S.= (a-b)cot(C/2)+(b-c)cot(A/2)+(c-a)cot(B/2)
=k(cosA-cosB)+k(cosB-cosC)+k(cosC-cosA)
=kcosA-kcosA-kcosB+kcosB-kcosC+kcosC
=0
=R.H.S.

參考: My Maths Knowledge

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