問數~關於展開式~

(2x - x^2)^12
= 12C0 * (2x)^12 + 12C1 * (2x)^11 * (-x^2) + 12C2 * (2x)^10 * (-x^2)^2 + ... +
12C11 * (2x) * (-x^2)^11 + 12C12 * (-x^2)^12
要找x^15的系數, 設r 為Binomial Expansion 的第 (r + 1) 項, 0 <= r <= 12,
然後考慮算式 (12 - r) + 2r = 15, r + 12 = 15, r = 3
12C3 * (2x)^9 * (-x^2)^3
= 12! / (3! 9!) * (-2^9) * x^15
= 220 * (-512) * x^15
= -112640 * x^15
x^15的系數是-112640.

如果一定要展開式既話就係咁:
(2x-x^2)^12
=(2x)^12+12(2x)^11(-x^2)+66(2x)^10(-x^2)^2+220(2x)^9(-x^2)^3+495(2x)^8(-x^2)^4+
792(2x)^7(-x^2)^5+924(2x)^6(-x^2)^6+792(2x)^5(-x^2)^7+495(2x)^4(-x^2)^8+
220(2x)^3(-x^2)^9+66(2x)^2(-x^2)^10+12(2x)(-x^2)^11+(-x^2)^12
咁搵番個x^15既項....系數=220x2^9x(-1)= - 112640

但係呢d數唔一定要展開哂先做到..可以咁做:
general term=12Cr(2x)^r(-x^2)^12-r
咁要搵^15既系數呀嘛..
2(12-r)+r=15
r=9
系數=12C9(2)^9(-1)^3= -112640

By considering binomial theorem,
The (r+1) th term = 12Cr *(2x)^(12-r) *(-x^2)^r
=12Cr *(-1)^r * (2)^(12-r) * x^(12+r)
When 12+r=15
r=3
The coefficient of x^15=12C3 *(-1)^3 * (2)^(12-3)=-112640

通項 = 12Cr (2x)^r (-x^2)^(12-r)
=12Cr 2^r(-1)^(12-r) x^(r+24-2r)
=12Cr 2^r(-1)^(12-r) x^(24-r)
設24-r = 15
r = 9
因此, x^15的係數 = 12C9 2^9 (-1)^3 =- 112640