畢氏定理.

畢氏定理的十五個證明
http://www.calfss.edu.hk/schoolsite/20th/math/Pyth/pyth_flash.htm
畢氏定理


引言
　　世界上唯一一條「不是」定理的定埋是甚麼？那就是著名的畢氏定理。眾所周知，畢氏定理是指直角三角形的斜邊（hypotenuse）的平方 等於另外兩邊的平方之和，這種超過三百多種証明方法的定理，究竟是誰發現的？
最早的發現
　　早在公元前五、六世紀，在克羅托那有一個秘密組織「畢達哥拉斯學派」。這個組織相信「萬物皆源於數」，而且它無論在數論、幾何、天文、 音樂等都有很高的造詣。這個教派有個很嚴格的規條，就是內部的發明及創作是不可以對外宣揚。相傳這個學派發現這條定理後，宰了 100 頭牛 來慶祝，所以「畢氏定理」又稱為「百牛定理」。


最早而嚴格的証明
　　由於這個學派不得對外宣揚，所以其發現在歷史上並無確實的記載。追溯歷史，最早對畢氏定理作而嚴格的證明要算是希臘的歐幾里得，他在 《幾何原本》編寫的證明是現代數學教科書採用的。


中國及埃及人的貢獻
　　公元一世紀，中國最古老的數學及天文著作《周髀》記載了周朝的大夫商高與周公的大段對話，指出夏禹治水時知曉利用 3 : 4 : 5 來 構成三角形，時間上比不晚於埃及的最早記錄 。《周髀》中更明確寫出計算直角三角形弦長的方法：「勾股各自乘，并而開方除之」。由此可知中國人在那時已掌握勾股定理（畢氏定理又名勾股定理）。
　
　　另外，數學史家 M. B. 康托爾（Moritz Benedikt Cantor，1829-1920）已推測古埃及人已懂得運用邊長為 3 : 4 : 5 的直角三角形作直角的概念， 以達致測量、建築學上的用途。


「普林頓 322 號之謎」
　　一塊編號為「普林頓 322」的巴比倫泥板，它印有一組組完整的三列數字，像 (3, 4, 5) 等。起初學者以為這是古時的賬目表。後來經過伊格鮑爾 （Otto Neugebauer）及薩克斯（A. Sachs）的研究，才在 1945 年解開。原來這一串數字是勾股數（一組能作為直角三角形的邊長的正整數稱為 勾股數）。「普林頓 322」涉及的勾股數十分巨大，若巴比倫人不熟識勾股定及勾股數的參數表，根本無法靠巧合而湊出這些數字來。巴比倫人在 公元前二千年已有這極出色的成就，實在令人驚嘆！

「畢氏定理」的發現者一般都認為是古希臘數學家畢達哥拉斯
(Pythagoras, 公元前 572 至公元前 492 年)。

不過早在公元前 1100年左右(商代)，中國數學家商高
其實已發現「勾三、股四、弦五」的關係。
並用它作計算及測量，所以此定理又稱「勾股定理」或「商高定理」。
載在一本名為《周髀算經》的古書中。

=================================================

畢式定理是由畢達哥拉斯發現的，在中國也有人發現，又稱「商高定理」，

高定理是指直角三角形的2股平方和＝斜邊的平方　

等腰三角形三邊比是１：１：根號２

圖片：http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/jyt/famousthm/title1.gif

所謂的畢氏定理就是在一個直角三角形中，斜邊的平方等於兩股平方和，
也就是圖中藍色正方形的面積等於黃色加上紅色正方形的面積，
雖然說稱它為畢氏定理，可是這是有一點不恰當的，
因為在畢達哥拉斯發現他之前中國人和巴比倫人在他之前一千多年前
就已經再利用這個性質來從事建築，
在中國古老的數學家商高在公元前一千多年前就已經提到：
「勾廣三、股修四、徑隅五」，這是一個直角三角形的三邊長，
這是他在回答周公如何計算天地的度量時所提到的，
當然古書還有其它相關的記載，這裡我們要說明的是：
「把他稱為商高定理或是勾股弦定理都是常見的相關說法，
而古人常用畢氏定理來作直角，記得我參加清大足球隊訓練時，
有一次要畫禁區的白線，那是一個球門中央左右18碼當作長，
寬為18碼的長方形，可是要如何畫出這個禁區呢？

可以利用畢氏定理來畫，首先拿皮尺從球門中心C向右找出18碼的點A
，以A為固定點當0，拿皮尺在18碼處和18＋18×1.414分別當作B與C點，
則A、B、C三個點同時撐緊時就是一個我們所要的直角三角形，
這樣子畫出來的禁區是非常漂亮的。

圖片：http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/jyt/famousthm/soccer.jpg

在二十世紀初，有許多科學家相信火星上住著高智慧的生物，
因為天文學家們發現火星上有運河的樣子，而火星跟地球距離相近，
氣候應該適合生物居住，可是我們要如何跟它們溝通呢？
他們會不會說話呢？即使會說話語言也不相通呀！
有人想到既然地球上不同地區不同時間都先後發現了畢氏定理，
那麼如果火星上住著高智慧的生物，他們應該也會知道這個定理才是，
應此我們可以在西伯利亞種上大樹，排成畢氏定理的圖形，
或是在大沙漠中挖出一個畢氏定理的運河，然後在運河上灑汽油，
晚上點起火來，火星人就能看見我們了，或許還會乘坐飛碟來看我們呢。
但是因為工程太大，所以從來沒有實現。

從畢達哥拉斯時代到現在，畢氏定理已經被提出了許多證明，
它已經四百多種不同的證明，
甚至於曾經有一位美國總統在他擔任議員的時候也給出一個證明。


畢氏定理揭示了直角三角形三邊之間的度量關係，
是直角三角形中的一個重要性質，直角三角形ABC中，a2+b2=c2。
因我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱"勾"，
較長直角邊稱"股"，斜邊稱"弦"，所以把這個定理稱"畢氏定理"。
畢氏定理是一個十分重要而著名的定理，它不僅在數學中有廣泛的應用，
而且在其他自然學科，如物理、力學中也常常用到。

畢氏定理的發現和證明是我國在幾何學上的一項重要成就。
我國古代數學名著《周髀算經》第一章就記載了西周開國時期（約西元前1000年），
已發現"勾廣三、股修四、徑隅五"這個畢氏定理的特例。
該收又度載了"勾、股各自乘並而開方除之，得邪（同科）至日"，
這就是畢氏定理的一般敘述，另一部古算書《九章算術》裏也有同樣的記載。
《周髀算經》和《九章算術》都成書於西漢中期（約西元前100年左右）
可以肯定這個定理是這兩本書寫成以前，由我國單獨發現，並已流傳開來，
這個定理在西方被稱?"畢達哥拉斯定理"，畢氏的證明也沒有流傳下來，
後來在西元前三世紀時由歐幾裏得編人《幾何原本》並作了證明，
該書直到明朝的除光（1562-1633）翻譯成中文後，才傳入我國。

我國早證明這個定理的是三國時吳人趙爽（群卿），
在《周髀算經》第一章的注文中，附錄了他撰寫的《勾股圓方圖注》，
用了短短五百餘字和六張附圖，簡練地總結了後漢時期勾股算術的輝煌成就，
不但對畢氏定理和其他關於勾、股、弦三邊的恒等式，
作出了較嚴格的證明，並且對二次方程的解法，也提供了新的見解。

趙爽的證明用了一個弦圖，該弦圖是以弦邊長的正方形，
由四個全等的勾股形（圖中四個直角三角形）組成，把這四個勾股形染成紅色，
中間小正方形染成黃色。設這裏的勾股形的勾、股、弦分別是a，b，c，
則一個紅色在角形的面積是1/2ab，四個紅色三角形的面積2ab,
中間黃色的正方形面積是(b-a)2,便有c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2 -2ab+a2=a2+b2。

一般書上所用的弦圖以a+b一邊的正方形,
它的面積比兩個以c邊長的正方形面積少一個中間小正方形的面積，
即（a+c）2=2c2-（b-c）2，經過代數變換，很容易得出a2+b2=c2，
這個弦圖後來流傳到印度，被大數學家拜斯卡拉（Bhas-kara，12世紀時人）寫在書中，用於證明畢氏定理。

趙爽利用圖形的面積證明瞭畢氏定理，此後，劉徽、梅文鼎、李銳、
項名達、華蘅芳等人另創證法多種（據說共200餘種），
這些證法的實質，都是把勾、股上的兩個正方形進行某種分割，
再拼成一個弦上的正方形。

a^2+b^2=c^2

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Pythagorean.svg/180px-Pythagorean.svg.png











圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
直角邊的平方和等於斜邊的平方


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Chinese_pythagoras.jpg/300px-Chinese_pythagoras.jpg



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
Visual proof for the (3, 4, 5) triangle as in the Chou Pei Suan Ching 500–200 BC
勾股定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理。是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的一個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，作為一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。
定理


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/thumb/c/c4/Ggdl.GIF/180px-Ggdl.GIF



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
一種證明方法的圖示：左右兩正方形面積相等，各扣除四塊藍色三角形後面積仍相等
勾股定理指出：

直角三角形兩直角邊（即「勾」，「股」）邊長平方和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。
也就是說，

設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼

a2 + b2 = c2
勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Chinese_pythagoras.jpg/180px-Chinese_pythagoras.jpg



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
在公元前500-200年，周髀算經的圖解

[編輯] 勾股數組


主條目：勾股數
勾股數組是滿足勾股定理a2 + b2 = c2的正整數組(a,b,c)，其中的a,b,c稱為勾股數。例如(3,4,5)就是一組勾股數組。
任意一組勾股數(a,b,c)可以表示為如下形式：a = k(m2 − n2),b = 2kmn,c = k(m2 + n2)，其中 n " src="http://upload.wikimedia.org/math/b/7/5/b75c2cdbd36f7406cce39f99794d701a.png">。

畢氏定理係在一個直角三角形中，斜邊 的平方等於兩股平方和