數學.....急(10分)

mod 的意思是要餘數部份
e.g. 7 mod 2 = 1
因為 7 除 2 = 3 ... 1，而 mod 就只要餘數部份，即 1

22 mod 7 = 1
22^2 mod 7 = 484 mod 7 = 1
22^3 mod 7 = 10648 mod 7 = 1

如此類推，22^n mod 7 = 1 （適用於所有正整數 n）

（這個方法是類似推理的手段，這類問題的名稱叫 digit cycle）



另一個方法，涉及 binomial expansion，希望你睇得明

22^n = (3 x 7 + 1)^n
= (3 x 7)^n + nC1 (3 x 7)^(n - 1) + nC2 (3 x 7)^(n - 2) + ... + nCn-1 (3 x 7)^1 + 1


前面 n - 1 項都能被 7 整除
但最後的一項 （1） 就不能被 7 整除，故此，22^n 除 7 後，餘數一定是 1
（n 是任何正整數）



Answer
22^1994 mod 7 = 1

先觀察 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, 若 a 可被7整除, 則 a^2, 2ab 兩項亦 可被7整除. 故 (a + b )^2 /7 的餘數等於 b^2/7 的餘數.
再觀察 (a + b)^n = a^n+ ....... + nab^(n-1) + b^n, 若 a 可被7整除, 則 a^n, ......., nab^(n-1) 各項亦 可被7整除. 故(a + b )^n /7 的餘數等於 b^n/7 的餘數.
因此 22^n =(21 + 1)^n 被7去除後, 餘數為 1/7 的餘數, 即等於 1.
在本題中, 1994 沒有特別意義, 只是一個很大的數吧了.

The remainder should be 1