Epsilon-Delta 問題

一開始學習極限的時候，我們一般會說當某數 n 接近某數或無限時，f(n)會接近甚麼。
這是不是一個精確的說法，Epsilon-Delta是極限的定義，是一個精確的說法。
簡單來說，如果我們說lim x->infinity f(x) = p，就是說當x愈大, f(x)就愈接近p.
我們就挑戰這個statement，我們問，是不是當x足夠大，大於一個數N, f(x) 和 p 的距離不會大於0.1嗎？當然，N和0.1有關係啦。這一關過了，我們就過份一點，又問，是不是當x足夠大，大於一個數Q，f(x) 和 p 的距離不會大於0.o1嗎？當然，Q和0.o1有關係啦。
這個其實就是Epsilon-Delta 的精髓。如果我們說lim x->infinity f(x) = p，那它就可以接受任何一個Epsilon的挑戰。無論Epsilon多少，我都能找出一個數，只要x大於它，f(x)和p的距離就會少於Eplison。用一個較不精準的說法，就是f(x)會一直接近p。
Epsilon-Delta 是一個定義，我們不會質疑它是否正確的。
我們一般是不會用Epsilon-Delta 和證明極限的，除了最基本的limit。比如說，如果f(k) = p ，lim x->k f(x) = p，又或者lim x -> infinity 1/x = 0 等。這種問都一般都很容易應付的。只是做起來有點反過來。一般你會先寫f(x)<epsilon，再換subject變成x>N(epsilon)。但係present時就會反轉寫。