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橢圓




圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Elipse.svg/300px-Elipse.svg.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
橢圓和它的某些數學性質。
在數學中，橢圓(來自希臘語的 absence)是平面上從曲線上任何點到兩個固定點的距離和是常數的軌跡。這兩個固定點叫做焦點。
橢圓是一種圓錐曲線: 如果如果一個平面切截一個圓錐面並不交於它的底面，則圓錐和平面交截線是個橢圓。
在代數上說，橢圓是在笛卡爾平面上如下形式的方程所定義的曲線



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/b/5/eb5cd6ac70c44c9f09fdefb96c1048a8.png

使得
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/5/8/958a381c620f3009dfc7f461fd44110b.png
，這裡的係數都是實數，並存在定義在橢圓上的點對 (x, y) 的多於一個的解。
如果兩個焦點重合，則這個橢圓是圓；換句話說，圓是離心率為零的橢圓的特殊情況。
中心位於原點的橢圓
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/a/5/ba59ad9d47a591bbcb4f6715727ef7fa.png
的兩個特徵向量的方向，而兩個與之對應的特徵值分別是半長軸和半短軸的長度的平方的倒數。
橢圓可以通過對一個圓的所有點的 x 坐標乘以一個常數而不改變 y 坐標來生成。



離心率
橢圓的形狀可以用叫做橢圓的離心率的一個數來表達，習慣上指示為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/f/d/cfdb64c3b87ac533d812eba2b0dcd6d2.png
。離心率是小於 1 大於等於 0 的正數。離心率 0 表示著兩個焦點重合而這個橢圓是圓。
對於有半長軸 a 和半短軸 b 的橢圓，離心率是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/b/c/ebc0037f8041628f4574e7868fc51d42.png
.
離心率越大，a 與 b 的比率就越大，因此橢圓被更加拉長。
如果 c 等於從中心到任一焦點的距離，則


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/c/0/ac0327ffceef91c2e77c5cdb6444bc4e.png
.
距離 c 叫做橢圓的線性離心率。在兩個焦點間的距離是 2aε。

方程
中心位於點 (h,k) 的主軸平行於 x 軸的橢圓由如下方程指定


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/c/0/8c08f74c1f75ce10bd2a43288f596adc.png
.
這個橢圓可以參數化表達為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/3/0/0303b9124d53c8b22f7d3647141502ed.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/0/0/600f118ec23982d69a1fcaf3bd434b8f.png

這裡的 t 可以限制於區間
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/4/1/e41f9628862cf38cd998b71d67795163.png
。
如果 h = 0 且 k = 0 (就是說，如果中心是原點(0,0))，則



橢圓方程
b>0)" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/e/9/de9f560d8e3f7e70dcc1cb094aadc8de.png">
b>0)" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/1/4/71499dce863ee77af9281b013e20b722.png">

圖像



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/c/cc/Ellipse_normal_1.jpg




圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/d/d0/Ellipse_normal_2.jpg


範圍

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/1/3/81324e2cd86d066d4d78de63c7503f60.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/6/f/b6f149d2b3f2be54309cf5732ea362fa.png

用極坐標可表達為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/9/9/599b40089f16885760cc376973756dd7.png

這裡的
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c691dc52cc1ad756972d4629934d37fd.png
是橢圓的離心率。
有一個焦點在原點的橢圓的極坐標方程是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/3/1/f31dd50f665daa49a46bfa2ced79b1ef.png
.

半正焦弦和極坐標
橢圓的半正焦弦，通常指示為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/2/ef23e264038958fc0d7d04f5e0d8fd64.png
。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Elps-slr.svg/312px-Elps-slr.svg.png

在極坐標中，一個焦點在原點而另一個焦點在負 x 軸上的橢圓給出自方程


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/a/5/ba59dddbc20303834d9984d2e8edb264.png

橢圓可以被看作是圓的投影: 在與水平面有角度 φ 的平面上的圓垂直投影到水平面上給出離心率 sin φ 的橢圓，假定 φ 不是 90°。

面積和周長
橢圓所包圍的面積是
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/0/c/c0c744ea34b6925ebf98767a91f8e135.png
，這裡的 'a' 和 'b' 是半長軸和半短軸。在圓的情況下 a = b，表達式簡化為 πa2。
橢圓的周長是
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/3/d/13d5785ac89e912a333a5505cc3c4258.png
，這裡的函數 E 是第二類完全橢圓積分。
精確的無窮級數為:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/3/3/333f234c62272b2509a5cfb3071d4309.png

或:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/7/3/973e9f2eff62965881fc2d40512412ca.png

一個好的近似是拉馬努金的:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/a/e/6ae2da9bd47bab3bde7713c60a04c1bc.png

它還可以寫為:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/0/b/d0b466ba8cce6d96a09ba6dfa3e719a3.png


標準方程的推導

如果在一個平面內一個動點到兩個定點的距離的和等於定長，那麼這個動點的軌跡叫做橢圓。



假設（注意所有假設只是為了導出橢圓方程時比較簡便）動點為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/8/0/380f772e439947fd5ba0850a7728278a.png
，

則根據定義，動點P的軌跡方程滿足（定義式）：



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/0/3/a038035b41d3f99ed5dd273b81b5113b.png
為定長。

用兩點的距離公式可得：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/1/4/614014ce0ee23b4842fe95ebc5bb7b57.png
，代入定義式中，得：



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/a/3/ea3fa2ab8fcffeb1aa833e26f893c9d8.png


整理上式，並化簡，得：



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/3/d/33d730d391b7d7449a5ba6cdc0cd2e3a.png
①

當
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/c/1/4c103af2e45666e5db168824ab4b4593.png
，則①式可以進一步化簡：



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/5/a/c5ad27ae63f8b71740d56c1d3b4d1dab.png
②

因為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/6/2/6625e7c2b40eb5065df4cab6faf0f475.png
，可得：



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/4/1/b41e68e317257cff4440eca5ceb7e147.png


則該方程即動點P的軌跡方程，即橢圓的方程。這個形式也是橢圓的標準方程。

橢圓的圖像如果在直角坐標系中表示，那麼上述定義中兩個定點被定義在了x軸。若將兩個定點改在y軸，可以用相同方法求出另一個橢圓的標準方程：




b>0) \," src="http://upload.wikimedia.org/math/a/3/2/a32893d76c6b6d0a4a756b56189485da.png">

在方程中，所設的
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/c/1/4c103af2e45666e5db168824ab4b4593.png
。
通常認為圓是橢圓的一種特殊情況。

橢圓的旋轉和平移
對於平面上任意橢圓 Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0，我們總可以將之轉化為

A(x − u)2 + 2B(x − u)(y − v) + C(y − v)2 + f = 0
的形式。具體步驟為，將後式的各乘積乘方項展開，根據與前式對應項係數相等的法則便可求得u,v,f的值。其中，(u,v)便是原橢圓的中心。
若將


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/b/e/dbefca1ffdfb369d5a0dd37cf6365d42.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/6/3/363239dbf0ab440dd36231f208ba475b.png

帶入式中便可得到平移前的橢圓。
若
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/0/9/d096fc15d57854ec89d746709b02e52e.png
, 則有


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/c/b/bcbe7ca9273ee4d2fb390df2d2b5ec64.png

若將


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/2/a/32aea6fd09fd1f68d86e5d224d067ea2.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/2/7/f270b9ccec126bc5a2022dd65c495398.png

雙曲線



在數學中，雙曲線(希臘語 ὑπερβολή 字面意思是「超過」或「超出」)是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。
從代數上說，雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/7/2/4728eae5102e86d864d7edbaa30a1394.png

使得 4 AC \," src="http://upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fc5fc92e1c7b8ddc09687ba27b52cce.png">，這裡的所有係數都是實數，並存在定義在雙曲線上的點對 (x, y) 的多於一個的解。
注意在笛卡爾坐標平面上兩個互為倒數的變數的圖像是雙曲線。

定義
前兩個上面已經列出了:

平面切直角圓錐面的兩半的交截線。
與兩個固定點(叫做焦點)距離差為常數的點的軌跡。
到一個焦點的距離和到一個線(叫做準線)的距離的比率是大於 1 的常數的點的軌跡。這個常數叫做雙曲線的偏心率。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Drini-conjugatehyperbolas.png/350px-Drini-conjugatehyperbolas.png



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共軛單位直角雙曲線。
雙曲線由分開兩個焦點的兩個分離的叫做臂或分支的曲線構成。隨著到焦點的距離的變大，雙曲線就越逼近叫做漸進線的兩條線。漸進線交叉於雙曲線的中點，並對於東西開口的雙曲線有斜率
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/7/e/87e2cf8c97e26f5c1de6d83925db8201.png
。
雙曲線有個性質，出自一個焦點的射線反射於雙曲線後開起來像是出自另一個焦點。
雙曲線的一個特殊情況是「等軸」或「直角」雙曲線，它的漸進線交於直角。以坐標軸作為漸進線的直角雙曲線由方程 xy=c 給出，這裡的 c 是常數。
如同正弦和餘弦函數給出橢圓的參數方程，雙曲函數給出雙曲線的參數方程。
如果對雙曲線方程交換 x 和 y，得到它的共軛雙曲線。共軛雙曲線有同樣的漸進線。

笛卡爾坐標
中心位於 (h,k) 的東西開口的雙曲線:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/8/c/a8c666fdefb72d7e0f3b2a563ef2af7c.png

中心位於 (h,k) 的北南開口的雙曲線:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/5/4/354255505c6252f672a38ae2d62f8dde.png

實軸貫穿雙曲線的中心並交雙曲線兩臂於它們的頂點(拐點)。焦點位於雙曲線實軸的延長線上。虛軸貫穿雙曲線中點並垂直於實軸。
在兩個公式中，a 是半實軸(在雙曲線兩臂之間沿著實軸測量的距離)，而 b 是半虛軸。
如果用雙曲線的兩個頂點的切線交漸進線形成一個矩形，在切線上的兩邊的長度是 2b，平行於實軸的兩邊的長度是 2a，注意 b 可以大於 a。
如果計算從雙曲線上任意點到每個焦點的距離，這兩個距離的差的絕對值總是 2a。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/HyperbolaRect01.png/330px-HyperbolaRect01.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/4/8/a489398c1987e8d4b7dc9387b9b9175d.png
的圖像。
離心率給出自


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/7/9/979209ea7c5e9806c0f898291bb43252.png

東西開口的雙曲線的焦點是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/a/efaa26311781f6e9c04ecd1c6f9f37e9.png

北南開口的雙曲線的焦點是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/a/efaa26311781f6e9c04ecd1c6f9f37e9.png

對於以坐標軸為漸進線的直角雙曲線:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/3/8/238882bd52389d713344ad75044beb30.png

這種雙曲線最簡單的例子是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/5/b/75bf8ebc67bea73319abebafc86d3635.png
.

你自己問老師啦.

i don't know