Mathz*恆等式[[數值代入+比較係數法]]

1.　( 2x - 1 )( x + 3 ) + 2x - 1 ≡ Ax² + Bx + C

　　　　2x² + 5x - 3 + 2x - 1 ≡ Ax² + Bx + C

　　　　　　　　2x² + 7x - 4 ≡ Ax² + Bx + C

　　　　　　　　　∴　A = 2
　　　　　　　　　　　B = 7
　　　　　　　　　　　C = -4


2.　A( 2x - 3 ) + B( 4x - 7 ) ≡ 1

　　　2Ax - 3A + 4Bx - 7B ≡ 1

　( 2A + 4B )x - ( 3A + 7B ) ≡ 1

　　　　　　∴　2A + 4B = 0
　　　　　　　　3A + 7B = -1

　　　　　　∴　A = 2
　　　　　　　　B = -1


3.　( x + 1 )( x - 2 )( x + 3 ) ≡ x³ + Ax² + Bx + C

　　　　　x³ + 2x² - 5x - 6 ≡ x³ + Ax² + Bx + C

　　　　　　　　　∴　A = 2
　　　　　　　　　　　B = -5
　　　　　　　　　　　C = -6


4.　A ( x + 2 )( x - 1 ) + B ( x - 1) ≡ 3x² + 5x - 8

　　　A ( x² + x - 2 ) + B ( x - 1 ) ≡ 3x² + 5x - 8

　　Ax² + ( A + B )x - ( 2A + B ) ≡ 3x² + 5x - 8

　　　　　　∴　　A = 3
　　　　　　　A + B = 5
　　　　　　　2A + B = 8

　　　　　　∴　A = 3
　　　　　　　　B = 2


5.　A( x+2 )( x-1 ) + B( x+1 )( x-1 ) + C( x+2 )( x+1 ) ≡ 6x

　　　　A( x² + x - 2 ) + B( x² - 1 ) + C( x² + 3x + 2 ) ≡ 6x

　　　( A + B + C )x² + ( A + 3C )x + ( 2C - 2A - B ) ≡ 6x

　　　　　　∴　A + B + C = 0
　　　　　　　　　A + 3C = 6
　　　　　　　2C - 2A - B = 0

　　　　　　　　　∴　A = 3
　　　　　　　　　　　B = -4
　　　　　　　　　　　C = 1

2*　若A(2x-3)+B(4x-7)=1，求A和B的值。

A(2x-3)+B(4x-7)=1
(2Ax-3A)+(4Bx-7B)三 1
(2Ax+4Bx)+(-3A-7B)三 (0)x +1

比較兩邊係數
2A+4B=0 ...(1)
-3A-7B=1 ...(2)

from (1)
2A+4B=0
A= -2B...(3)

(3)代入(2)
-3(-2B)-7B=1
6B-7B=1
B=-1

代入(3)
A= -2(-1)
A= 2


5*　若A(x+2)(x-1)+B(x+1)(x-1)+C(x+2)(x+1)=6x為一恆等式，求A、B、C的值。

A(x+2)(x-1)+B(x+1)(x-1)+C(x+2)(x+1)=6x

A(x+2)(x-1)+B(x+1)(x-1)+C(x+2)(x+1)三 6x

(x-1)[A(x+2)+B(x+1)]+C(x+2)(x+1)三 6x

(x-1)[Ax+2A+x+B]+C(x^2+3x+2)三 6x

(x-1)[x(A+1)+(2A+B)]+C(x^2+3x+2)三 6x

(x)[x(A+1)+(2A+B)]+(-1)[x(A+1)+(2A+B)]+C(x^2+3x+2)三 6x

x^2(A+1)+(2A+B)x-x(A+1)-(2A+B)+Cx^2+3Cx+2C三 6x

x^2[(A+1)+C)]+x[(2A+B)-(A+1)+3C]+[2C-(2A+B)]三 6x

x^2(A+C+1)+x(A+B+3C-1)+[2C-2A-B)]三 (0)x^2+6x+0

比較兩邊係數
A+C+1=0 ...(1)
A+B+3C-1=6 ...(2)
2C-2A-B=0 ...(3)

2*(1)+(3):
2*(A+C+1)+(2C-2A-B)=0
2A+2C+2+2C-2A-B=0
4C+2-B=0
B=4C+2...(4)

(2)-(1):
(A+B+3C-1)-(A+C+1)=6
B+2C-2=6
B=8-2C...(5)

(4)=(5):
4C+2=8-2C
6C=6
C=1

B=8-2(1)
B=6

from (1):
A+(1)+1=0
A= -2

1*　若(2x-1)(x+3)+2x-1=Ax^2=Bx+C為一恆等式，求A、B、C的值。
(2x-1)(x+3)+2x-1=Ax^2+Bx+C [係咪應該係+？]
左邊=2x^2+5x-x-3+2x-4
=2x^2+6x-7
=Ax^2+Bx+C=右邊
所以，A=2, B=6, C=-7

2*　若A(2x-3)+B(4x-7)=1，求A和B的值。
A(2x-3)+B(4x-7)=1
2Ax-3A+4Bx-7B=1
求唔倒...唔夠information

3*　設(x+1)(x-2)(x+3)=x^3+ax^2+bx+c，求a、b、c的值。
左邊=(x+1)(x-2)(x+3)
=(x^2-x-2)(x+3)
=x^3+3x^2-x^2-3x-2x-6
=x^3+2x^2-5x-6
=x^3+ax^2+bx+c=右邊
所以，A=2, B=-5, C=-6

4*　設a(x+2)(x-1)+b(x-1)=3 x^2+5x-8，求a、b的值。
左邊=a(x+2)(x-1)+b(x-1)
=(x-1)(ax+2a+b)
=ax^2+2ax+bx-ax-2a-b
=ax^2+ax+bx-2a-b
=ax^2+(a+b)x-2a-b
=3 x^2+5x-8=右邊
因為 a=3, a+b=5, -2a-b=-8
所以，a=3, b=2

5*　若A(x+2)(x-1)+B(x+1)(x -1)+C(x+2)(x+1)=6x為一恆等式，求A、B、C的值。
左邊=A(x+2)(x-1)+B(x+1)(x -1)+C(x+2)(x+1)
=(x-1)(A(x+2)+B(x+1))+C(x+2)(x+1)
求唔倒...唔夠information