汽車廣告用直升機丟一輛車自由落體高度的問題

我先說結論吧：假設空氣阻力與速度平方成正比，車子自由落體途中維持姿態不翻轉，平面行駛車輛一開始就全力衝刺等加速度加到極速，那麼，是有可能的。

我的理由與計算過程如下：

我們可以從車商提供的型錄(PDF檔按右鍵開啟或下載)第25頁，找到以下的幾項有用數據：
1. 車長4.575m
2. 車寬1.800m→車長*車寬=自由落體受空氣阻力面積=8.235m2
3. 車重1558kgw
4. 最大馬力204hp
5. 安全極速225km/hr→62.5m/s，當加速到安全極速之後假設只能以安全極速行駛
5. 0-60mph加速時間7.9秒→以等加速度來計算a~3.4m/s2
6. 0-400m加速時間16秒→以等加速度來計算a~3.125m/s2

此外可從Wikipedia找到關於馬力以及空氣阻力的資訊：
馬力：1hp~745.7W→車商宣稱的直線加速最大馬力204hp~152kW
(→以0-400m加速時間16秒、車重 人重1620kgw計算，輸出功率只有137.7kW)
(→多出的14.3kW~19hp，大致是克服路面摩擦力與空氣阻力及其他熱損耗)
自由落體空氣阻力公式：Fd=(1/2)rv2CdA
其中受力面積A=8.235m2
空氣密度以常溫常壓1莫耳空氣(重28*0.8 32*0.2=28.8公克)佔22.4公升計算r=1.286kg/m3
光滑塊狀物空氣阻力形狀係數Cd=2.1
以空車質量mCar=1558kg看，達到終端速度的條件是Fd/mCar=g(=9.8m/s2)，
也就是說當自由落體達到終端速度vterminal=37.055m/s(~133.4km/hr)時，就以等速下落。

條件找齊了，代入MKS制公式：

自由落體：(假設過程中車體不翻轉、以出發點y=0計算、向下為正)
向下的加速度a=g-Fd/mCar=9.8-0.007137162v2
y"=9.8-0.007137162y'2　　　初始條件y(0)=0、y'(0)=0
數值解(請看下方的Matlab程式碼)出當y=1219m時，經過35.5sec。

平面加速：(以對廠商較不利的加速度3.125m/s2計算)
x"=3.125(當x'<62.5時)
x"=0(當x'=62.5時)　　　初始條件x(0)=0、x'(0)=0
當x=1219m時，經過29.5sec。

單就物理來看，29.5sec<35.5sec，車商沒有騙人，平面駕駛者可以安心地開，不會被砸死。

以下是Matlab模擬程式與模擬出來的圖形，若對程式碼有興趣請參考下方的參考資料：

圖形：

圖片參考：http://img183.imageshack.us/img183/417/is2501gh9.jpg


圖片參考：http://img518.imageshack.us/img518/1148/is2502eh2.jpg


2007-10-06 06:59:36 補充：
「我想,既然已經加速到極速了,就會變成等速度了.
等速之後,由於自由落體仍有加速度,因此對地面車是越來越不利.」

我想您沒有考慮到有空氣阻力吧！這是普遍存在的物理現象，沒有空氣阻力的話跳傘的人都會摔死。當有空氣阻力存在時，自由落體向下的加速度會由最初~9.8m/sec^2，被空氣阻力逐漸減小，到變成0m/sec^2，此時由於不受力，維持等速度運動，該速度值為定值，稱為終端速度。上例算出終端速度133.4km/hr，陸地上的車極速225km是有可能去追趕這個差異的。

2007-10-06 07:09:56 補充：
「車子要加速前進. 主要要抵銷車子重量之慣量 - 重力加速度 . ( 先不管磨擦等因素 ).」

我想您可以回想或查詢一下「重力質量/加速度」和「慣性質量/加速度」以及轉動「慣量」這幾個名詞的原始定義，個人認為用在這句話裡面極不恰當，因為

「車子要加速前進. 主要要帶動車子之慣性質量、慣性加速度進入運動狀態 . ( 先不管磨擦等因素 ). 」

還有「慣性質量無法被抵銷、碰撞時被抵銷的是動量不是質量」

2007-10-06 07:16:26 補充：
「法拉利 6000 cc 與 5500 cc 兩款車才有可能做到,因其加速度大於重力加速度.」

我對這兩款車的數據有興趣，請教他們有沒有如下的表現：

1. 0-100km/hr 加速時間 2.8345sec 以內
2. 0-400m 加速時間 9.0351sec 以內

因為上面兩點是重力加速度才作得到的事。

2007-10-06 07:22:53 補充：
「設計這個廣告的人已經避開這個問題了...
廣告中地面車並非靜止, 而是衝過起點瞬間吊車放開... 」

也許他們拍攝時有造假，也許沒有，最被大家討論的是自由落體那台車怎麼都沒有翻滾？假使他們沒造假，車輛也真的都沒翻滾的話，我大概知道為何「衝過起點瞬間吊車放開... 」，因為兩台車直線距離大概2.7公里，一個鏡頭很難把兩台車都拍清楚，所以他們用兩個特寫鏡頭拍，而在剪輯時看起來有時間差，如此而已。

2007-10-07 15:35:29 補充：
給發問者特大頭兄：您會這樣想無可厚非，因為您可能沒注意到廣告所有細節，例如跑和垂直下落的距離如果是40或400呎，那麼忽略掉空氣阻力的計算沒有太大誤差。我只不過是有聽到廣告旁白講的4000呎，據此計算，如此而已。另外石九公兄講的整個加速過程不會是等加速度，我完全同意，只是我找不到資料來做更精細的計算，所以一開頭才講「假設等加速度、假設不翻滾」。事實上就像玩sky diving的人都知道，張開手腳，和把手腳併攏頭下腳上，會受到不一樣大的空氣阻力，如果汽車在墜落過程有翻滾，則紅色的線也要受到修正。資訊不足下我也還不會修這部份，如此而已。

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這有類似的

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參考下面的網址看看

http://ppt.cc/U4CV

少見樸實,高水準但卻不賣弄學問的討論, 好像美國大學物理課程找出電影中違反物理定律的地方, 每一個人都由獨特的觀點切入分析, 而不是同樣的答案不斷的 "美工包裝", 這才真是 encyclopedic 啊 ! 可惜不能作成範本

網站上查,該車型極速為225km/hr,時速0至100公里加速8.4 秒 ( 應該是0~60mph = 8.4秒吧. 60mph=96.5 km/h )
此問題與極速沒關係. 因為carey已經算過. 該車0至100公里平均加速小於自由落體加速度. 如果初速相等. 要比較長距離. 加速度一定要比較大. 也就是說該車0至100公里行走距離小於掉落高度. 更不用說到極速.
該車動力數據為 208ps/6400rpm. 25.7kg-m/4800rpm
表示該車馬力最大輸出208馬. 在6400轉時. 該車扭力最大輸出25.7kg-m. 在4800轉時. 表示為何. 表示引擎最大輸出時. 有相互匹配之轉速. 並不是引擎永遠是最大輸出.
車子要加速前進. 主要要抵銷車子重量之慣量 - 重力加速度 . ( 先不管磨擦等因素 ).
速度與出力成正比. 加速度與慣量成反比.
出力與減速比成正比. 相對慣量與減速比平方成反比. 速度與減速比成反比
也就是說減速比越大. 出力越大. 相對慣量越小(而且是平方比). 速度越小.
一般車子會記0至100公里. 是因為那是市場大家相同比較之基準. 對於引擎輸出位置. 並沒有什麼特別意義.
下來就是正題
引擎 -> 減速箱 -> 輪胎. 車子動力前進
引擎之轉速是相對於車子之速度. 車子剛起步. 速度很低. 引擎轉速很低. 引擎無法出力. 對應1檔減速比. 因減速比很大. 相對拉高引擎轉速. 使引擎可以增大出力. 降低相對慣量. 使加速度大.
車子前進. 因位1檔減速比大. 相對至一定速度. 引擎最大扭力無法再提升轉速. 減速箱入2檔減速比( 第二大). 因減速比變小. 行車速度直接由減速箱限制引擎轉速降低. 引擎轉速再度由低提高. 依2檔減速比大小. 提供車子前進速度. 及加速度. 以此方式. 入3 入4 到高速檔. 所以你可以發現. 車子前進在低速時加速度大. 速度越高加速度越小. ( 因為減速比).
如果那廣告為真. 也就是說那車子起步. 入1檔. 油門全開情況. 加速度比自由落體加速度大. 所以剛開始會比掉落物快. 後來檔位一直上來. 加速度會越變越小. 比自由落體小. ( 也就是說0~100要8.4秒. 0~50不用4.2秒. 可能只要2~3秒. 而50~100要5~6秒)
你問安全的高度應該是多少. 我不知道. 因為那關係引擎動力曲線. 減速箱減速比配置. 及電腦檔位設定.
電腦檔位設定 – 車子上有很多檔位模式. 如D, D3, D2 L跑車檔. 加速檔. 加力檔…等等. 車子電腦會依檔位設定, 引擎轉速. 進氣油氣比. 行車速度. 等等. 自動調整何時入何檔.
最後你問加速到極速是維持一樣的加速度嗎?
剛剛已經說過. 車子前進在低速時加速度大. 速度越高加速度越小.
你如有開車或騎摩托車可以注意一下. 剛起步. 加速很大. 速度一下就上來. 高速時要再加速. 加速變小. 速度上來沒那麼快. 如果要到極速. 那可能要一段時間慢慢上來.

V=V0+at,如果 V0=0
100km/hr=100*1000/3600=250/9(m/sec)
=>250/9=a*8.4=>a=250/(9*8.4)=3.30688(m/sec^2)
其加速度小於重力加速度 9.8m/sec^2
因此在 V0=0 時,是絕對無法比天空中的還快到達. 除非 (1).陸地汽車離”交會點”的距離小於”高空汽車”離”交會點”的高度. (2).汽車的 V0<>0 .
如果以 V0=0 且 S1=S2 的條件下,目前只有法拉利 6000 cc 與 5500 cc 兩款車才有可能做到,因其加速
度大於重力加速度.

極速=225km/hr=225*1000/3600=62.5(m/sec)
到達極速時間=v/a=62.5/(250/(9*8.4))18.9(sec)
行經的距離=a*t^2/2=250*18.9^2/(9*8.4)
=590.625(m)
再來算天上的汽車經 18.9 sec 時行經的距離
S=gt^2/2=9.8*18.9^2/2=1750(m)
因此: 590.625<1750 (不可能到達)
(1).所以若 S1=584 m,S2=1750m 時,在 t=18.9 sec
汽車到達極速,時會交會. 584m這就是安全距離. 因要考慮車長 6m

(2).或者若 S1=S2 ,V0=極速=225km(hr)
S=Vt=gt^2/2
=>62.5=9.8*t/2
=>t=12.755(sec)
=>S=62.5*t=797.2(m)
在第二條件其 高度與安全距離=791m, 因要考慮車長 6m

請問一下 0 到 100 km/hr 加速需要 8.4秒
那加速到極速是維持一樣的加速度嗎?