什麼是極限

在數學中，極限可以用來描述一個函數的性狀：即其自變數愈來愈靠近某個特定值或愈來愈大的時候，函數的變化趨勢；極限也可以用來描述一個序列的指標(index)愈來愈大時，序列元素的性態。極限是微積分和數學分析的其他分支最基本的概念之一，如微分和連續的概念都是通過極限來定義的。
函數的極限這個概念可以更一般地推廣到網(topological net)中，而序列的極限則與範疇論中的極限和有向極限(direct limit)的概念密切相關。



極限的基本知識
在微積分的入門課程中會首先接觸到極限這個概念，在英文的wikibook中有一篇介紹極限的文章，可作為入門的參考：[1]。這篇介紹文章包括了一些基本的概念，也介紹了極限在更高級的數學領域中的應用。

函數的極限：引子

主條目: 極限 (函數)
假設f(x)是一個實函數，C是一個實數，那麼


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表示f(x)可以任意地靠近L，只要我們讓x充分靠近c。此時，我們說當x趨向c時，函數f(x)的極限是L。值得特別指出的是，這個定義在
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/6/3/3632c2b41435c2e1f24ae4bf1668399a.png
的時候同樣是成立的。事實上，即使f(x)在c點沒有定義，我們仍然可以定義上述的極限。
以下兩個例子或許對理解這個概念有所幫助：
考慮函數
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/9/3/09368bc6428ff35acd59669b91f2714d.png
在x趨向2的時候的性質，此時f(x)在x = 2這點是有定義的，f(2) = 0.4。



f(1.9)
f(1.99)
f(1.999)
f(2)
f(2.001)
f(2.01)
f(2.1)

0.4121
0.4012
0.4001

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/c/f/1cfb61f8b7206229c3ad6452e0d83674.png

0.3998
0.3988
0.3882
當x趨向2的時候，函數值趨向0.4，因此我們有極限
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/3/4/43455cb634a606cad5ce4cb3faa8f219.png
。在這種情況下，即函數在某一點的取值和當x趨向這一點的極限值相同的時候，我們稱f在x = c這一點是連續的。當然，這是相當特殊的情況。
考慮


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那麼當x趨於2的時候，g(x)的極限與前面的f(x)相同，都是0.4。但是請注意
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/e/3/6e3f4a8a2269bf7a634ad93b65050060.png
，這就是說，g(x)在x = 2是不連續。
或者考慮這樣一個例子，使得f(x)在x = c時沒有定義：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/2/c/22c856c47572829c333c16a5aa666849.png

當x趨於1時，f(x)是沒有定義的，但極限存在，即
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/2/d/a2d978f3e0cec2fac39fd8368c17f58e.png
：



f(0.9)
f(0.99)
f(0.999)
f(1.0)
f(1.001)
f(1.01)
f(1.1)

1.95
1.99
1.999

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2.001
2.010
2.10
在
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的情況下，x可以任意靠近1，從而f(x)的極限為2。

實變數實值函數在有限處的極限：形式定義
形式上講，極限可以這樣定義：
命f是一個定義於包含c的開區間（或此開區間剔除c）上的實值函數，命L是一個實數，那麼


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表示對於任意的
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/3/e/83eb185cd1dead8ae4f3b89aff2f5f1a.png
成立。

實變數實值函數在無窮遠處的極限
與函數趨於某個給定值時的極限概念相關的是函數在無窮遠處的概念。這個概念不能從字面上直接理解為，x距離無窮遠越來越小的狀態，因為無窮不是一個給定的數，也不能比較距離無窮的遠近。因此，我們用x越來越大（如果討論正無窮時）來替代。
例如考慮
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.

f(100) = 1.9802
f(1000) = 1.9980
f(10000) = 1.9998
當x非常大的時候，f(x)的值會趨於2。事實上，f(x)與2之間的距離可以變得任意小，只要我們選取一個足夠大的x就可以了。此時，我們稱f(x)趨向於（正）無窮時的極限是2。可以寫為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/4/9/e49d9ac64afe08da3ea0563d406d5bc4.png

形式上，我們可以這樣定義：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/9/6/896c3eb04008216eddf3c0f3884f684b.png

若且唯若對於任意的
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/e/4/5e4d0811d1a97357b5a0fad75efad5d8.png
。
如果考慮將f的定義域推廣到擴展的實數軸，那麼函數在無窮遠的極限也可以看作在給定點的極限的特例。

實數序列的極限
主條目: 極限 (序列)
考慮這個序列：
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，通過觀察可以發現，這一列數字趨向1.8，也就是我們所說的極限。
形式地講，假設
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/b/4/2b4cad2015dddc3ef64760462238cec1.png
是一列實數，那麼實數L稱為這個序列的極限，即


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/2/7/627123098a300b1aca08a12f30bb6122.png

若且唯若對於任意的
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c691dc52cc1ad756972d4629934d37fd.png
。
直觀地說，這就說明序列的元素越來越靠近L，因為上面的絕對值也可以用來刻畫距離。當然這並不是說每一項都比前一項更為靠近。而且更一般地說，不是所有的序列都有極限的。如果一個序列是有極限的，我們稱其為收斂的，否則稱為發散的。可以證明，如果一個序列是收斂的，那麼它有且僅有一個極限。
事實上，序列的極限和函數的極限之間的關係是相當密切的。一方面，序列的極限可以直接理解為一個定義在自然數集合上的函數趨於無窮時候的極限。另一方面，一個函數在x處的極限（如果存在），與序列
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的極限是相同的。

極限的一般概念

拓撲網的極限
在引入拓撲網的概念下，上述的定義可以毫無障礙地推廣到任何拓撲空間。事實上，現代數學中的極限概念就是定義在拓撲空間上的，上述的例子都是拓撲空間的具體化。
在數學裡的範疇論中，極限的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。
極限分為極限與上極限，彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表：




上極限（colimit）
正極限（direct limit）
歸納極限（inductive limit）

極限（limit）
逆極限（inverse limit）
射影極限（projective limit）

極限（limit）是分析數學中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態。

　　樸素的、直觀的極限思想在古代的文獻中就有記 載。例如中國《莊子．天下篇》中載有「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。公元三世紀的中國數學家劉 徽所創割圓術，從圓內接正六邊形出發割圓，得到圓內接正6x2n邊形序列，並指出割得愈細 ，正多邊形與圓面積之差愈小，「割之又割以致於不可割，則與圓合體而無所失矣」。其中包含了深刻的 極限思想。

　　在古希臘，安蒂豐提出求圓面積的「窮竭法」， 後來由歐多克索斯發展為一種較為嚴格的理論，提出現在分析中通稱的「阿基米德公理」。阿基米德把窮 竭法成功地應用於面積計算。這些工作都可以看作是近代極限理論的雛形。

　　隨著微積分學的誕生，極限作為數學中的一個概 念也就明確地提出來，但最初提出的極限概念是含糊不清的。例如牛頓稱變量的無窮小增量為「瞬」，有 時令它非零，又時又令它為零，萊布尼茲的dx、dy也不能自圓其說。因此有人稱牛頓和萊布尼茲的極限思 想為神秘的極限觀。這曾引起18世紀許多人對微積分的攻擊，對分析數學的發展帶來了因難，導致第二次 數學危機。

　　從19世紀初開始，數學家們轉向微積分基礎的重 建，極限概念才置於嚴密的理論基礎之上。現今普通微積分課本中函數的極限定義是由柯西和外爾斯特拉斯等 人給出的。柯西在1821年提出函數極限定義的ε方法（後來又改寫成δ），即所謂極限概念的「算術化」 ，他把整個極限過程用不等式來刻畫，使關於無窮小，無窮大的運算化為一系列不等式的推導。後來外爾 斯特拉斯將ε與δ聯系起來，完成了極限的ε－δ方法。

　　關於序列極限的正確概念早在1655年由英國數學 家沃利斯給出，但是未被人們採用。捷克數學家波爾查諾在1817年也給出了序列收斂條件的正確表述，可 惜他的工作沒有廣泛為人所知。柯西後來重新得到了這些結果，現在把序列（級數）收斂的判別準則歸功 於柯西，稱為柯西收斂準則。