高階常微分 - Ans.fyi 參考答案

高階常微分

用戶199712

2007-09-28 1:45 am

考慮微分方程：x2y'' +xy' -4y =0。
證明 x2 與 1/ x2 為這方程的非線性相關解；
寫下已知微分方程的通解；
試找出滿足初值條件：y(2)=3，y'(2)=-1的特解。並解釋為何這個解是唯一的。
並找出這個解在哪個區間上有定義。

回答 (1)

雞尾包

2007-09-28 2:47 am

✔ 最佳答案

y = x^2, y' = 2x, y'' = 2
x^2 y'' + x y' - 4y = x^2 (2) + x (2x) - 4(x^2) = 0
y = 1/x^2 , y' = -2/x^3, y'' = 6/x^4
x^2 y'' + x y' - 4y = x^2 (6/x^4) + x (-2/x^3) - 4(1/x^2) = 0
so, x^2 與 1/x^2 為這方程的非線性相關解
--------------------------------------------------------
y = Ax^2 + B/x^2
y(2) = 4A + B/4 = 3
16A + B = 12 ---------- (1)
y' = 2Ax - 2B/x^3
y'(2) = 4A - B/4 = -1
16A - B = -4 ------------- (2)
(1) + (2), 32A = 8, A = 1/4
16(1/4) - B = -4, B = 8
y = x^2/4 + 8/x^2

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