請問邊個網有列晒probability 最常用o個d 公式呀? [10分]

傳統機率 ( 拉普拉斯機率 )

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Begriff.png

統計機率

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/e/4/0e4e91591a6c878e1c6c476d7c5277e1.png


機率公理
如果一個函數 P

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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/5/2/0522261124f26bd23592e689ce0c3271.png

指定給每一個事件空間 S 中的事件 A 一個實數 P(A)，並且其滿足下面的 3 個公理，那麼函數 P 叫做機率函數，相應的 P(A) 叫做事件 A 的機率。




公理 1：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/5/1/c5147487e5f9882d674eb6af764ae759.png




事件 A 的機率 P(A) 是一個非負實數。

公理 2：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/b/e/0be5196c30529a06b610c1e9f002433c.png




完全事件的機率值為 1 。

公理 3：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/0/7/6078094942950b9e4ca34b74fb435737.png




空集事件的加法法則。
不難看出，上述公理適用於包括拉普拉斯機率和統計機率在內的所有機率定義。如果若干事件間的關係是兩兩空集，那麼公理 3 還可以擴展為如下形式：

公理 3：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/2/8/428c18d60dcb991082037aa630e5d55d.png


機率的計算
定理 1 (互補法則)
與 A 互補事件的機率始終是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/2/8/628f022b1686bd5cdd890ee7a965776d.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Komplement3.png

證明：
事件 A 和 Ā 是互補關係，由公理 3 和公理 2 可得



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/7/8/678660752b2adc952695e03bfea79849.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/7/4/174771adf3684bf3efc774faa79fbef7.png



定理 2

不可能事件的機率為零：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/1/7/117cd50163316133565afa8cf56f09de.png

定理 3
如果若干事件 A1,A2,...An ∈S 每兩兩之間是空集關係，那麼這些所有事件集合的機率等於單個事件的機率的和。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/1/4/814ed3bfc5755188c93392e1f8fe3795.png

定理 4
如果事件 A,B 是差集關係，則有，


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/b/8/db8a5b25541228b366226e32cf2da74c.png

定理 5 (任意事件加法法則)
對於事件空間 S 中的任意兩個事件 A 和 B，有如下定理：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/3/0/330f93fe8ccc450d0a84f92189ebca2e.png

定理 6 (乘法法則)
事件 A，B 同時發生的機率是：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/3/8/f38e14269b6610a9b4ed80b366fdb274.png


完全機率
n 個事件 H1,H2,...Hn 互相間獨立，且共同組成整個事件空間 S，即

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/5/0/150ab65b3861a9368504520523ee1f8a.png
以及

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/8/0/a80264309cc757b2c31fb5dd6e86965b.png

這時 A 的機率可以表示為，


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/6/9/b691e681635f07907c3231abb2aac8c1.png

[編輯] 貝葉斯定理

貝葉斯定理由英國數學家貝葉斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 發展，用來描述兩個條件機率之間的關係，比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照定理 6 的乘法法則，P(A∩B)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B)，可以立刻導出貝葉斯定理：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/4/4/b44bec512e2666bc3506dec10f428a46.png

如上公式也可變形為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/d/0/fd003ae8f10a101e8904bea401610f9d.png



大數定律
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車比雪夫定理：
設 a1,a2,...,ai,...為相互獨立的隨機變數序列，每一個ai都有有限的方差，且有公共的上界，即



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則對任意ε>0，成立


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/e/f/eef36177393778714f953c0692b7d17d.png

隨機變數
已知一機率空間 [ S,P ] 和一 X 函數，

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/8/b/48b48d707c7656fa7437df8e6ad448af.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/e/c/aecc72f5dcdfed6b86df4ffa77d0ade5.png

如果 X 指定給機率空間 S 中每一個事件 e 一個實數 X(e)，同時針對每一個實數 r 都有一個事件集合 Ar 與其相對應，其中 Ar = {e:X(e) ≤ r}，那麼X 被稱作隨機變數。隨機變數一般用大寫拉丁字母 ( 比如 X,Y,Z ) 來表示，從上面的定義注意到，隨機變數實質上是函數，不能把它的定義與變數的定義相混淆，另外機率函數 P 並沒有在考慮之中。



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6e/Zufall.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
實數坐標軸上的隨機變數示意圖
例如，隨機擲兩個色子，整個事件空間可以由 36 個元素組成：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/8/6/5865aa7fb570a04ffd5cbabdaa284d6f.png

這裡可以構成多個隨機變數，比如隨機變數 X ( 獲得的兩個色子的點數和 ) 或者隨機變數 Y ( 獲得的兩個色子的點數差)，隨機變數 X 可以有 11 個整數值，而隨機變數 Y 只有 6 個。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/4/b/64b7ca917620aebad1ba962c4c88ee87.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/d/2/6d2dff38956e9744978807c252d30bfa.png

又比如，在一次扔硬幣事件中，如果把獲得的國徽的次數作為隨機變數 X，則 X 可以取兩個值，分別是 0 和 1。
如果隨機變數 X 的取值是有窮盡的或者是可數無窮盡的值


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/8/3/483b5ef862592cbc111c2f6dffcb2758.png
,
則稱 X 為離散隨機變數。如果 X 由全部實數或者由一部分區間組成，


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/a/1/aa11882e650f606e5f990dd00840da31.png

則稱 X 為連續隨機變數，連續隨機變數的值是不可數及無窮盡的。






排列
{ a,b } ≠ { b,a }
組合
{ a,b } = { b,a }

不重複出現 ( 不放回去 )
{ a，b，c }

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/5/1/6511f0d23ca7d8330616d2c753af427a.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/f/5/3f5c2191d5128f36ec6b726c77df3b06.png


重複出現 ( 再放回去 )
{ a，a，b }

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/2/e/02ebd7524d465a8cad0ca5d98e450829.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/9/1/49124d739ca13dde7460e15ab8260458.png